* 59 実数a に対し, 3次方程式x+(a-2)x2+(16-2a)x-32=0 を考える。 である。 また,この方程式 この方程式の解のうちαによらない解はx= が2重解をもつようなαの値を求めると α= である。 [12 南山大〕

Channel 部分と ③ ーると Z で 59 方程式の左辺をαについて整理すると (x2-2x)+x3-2x2 + 16x-32=0 すなわち (x-2)xa+(x-2)(x2+16) = 0 よって (x-2)(x2+ax+16) = 0 ゆえに、与えられた3次方程式はαによらない 解 x = 72 をもつ。 x2+ax+16=0 ..① とおく。 ...... x3+(a−2)x2+(16-2a)x-32=0が2重解を もつのは,次の [1], [2] のどちらかの場合である。 [1] ① が x=2以外の重解をもつ ① の判別式をDとすると D=a²-4-1-16=a²-64 重解をもつのは, D=0のときであるから a²–64=0 ゆえに a=±8 α=±8のとき、 ①の解はx=干4(複号同順) よって, x=2以外の重解であるから、条件を 満たす。 [2] ① が x=2とそれ以外の解をもつ ①がx=2を解にもつとき 22+2a+16 = 0 よって a=-10 このとき, ① は x2-10x+16=0 ゆえに (x-2)(x-8)=0 したがって x = 2,8 ゆえに, x=2とそれ以外の解をもつから,条 件を満たす。 [1], [2] から、求めるαの値は α = ±8, -10