包含A⊃BとA⊂Bが同時に満たされればA=Bとなります[ここは教科書を読んでほしいです].
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集合Aの要素aはある整数x, yを用いてa=9x+5yと表されます.
またa=3*3x+(7*2-3*3)y=7(2y)+3(3x-3y)[7X+3Yの形にするために9, 5を9=3*3, 5=7*2-3*3を作ります]とも書けます.
2yと3x-3yは整数ですからaはBに属する, すなわちA⊂Bがいえます.
一方, 集合Bの要素bはある整数x, yを用いてa=7x+3yと表されます.
これはb=(9*3-5*4)x+(9*2-5*3)y=9(3x+2y)+5(-4x-3y)とも書けて, 3x+2yと-4x-3yは整数なのでbはAに属する, すなわちA⊃Bです.
したがってA⊃BかつA⊂BなのでA=Bであることが示されました.
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[注] 整数について習っていなければ後で読み返してください.
9と5, 7と3は互いに素です. したがって9x+3y=1, 7x+3y=1を満たす整数解は存在します[教科書にあるはずです].
この事実からA=Z, B=ZからA=Bを示すという方針が立ちます.
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まずA, BともにZに含まれることに注意します.
さて0=9*5+5*(-9), 1=9*4+5*(-7), 2=9*3+5*(-5), 3=9*2+5*(-3), 4=9*1-5*1とそれぞれ表せます[5で割った余りを考えています].
これに逐次5を加減すると整数全体を表せます. したがってA=Zがいえます.
同様に0=7*3+3*(-7), 1=7*1+3*(-2), 2=7*2+3*(-4)とそれぞれ表せ, これに対し逐次3を加減すると整数全体を表せます.
以上からA=B=Zが示されました.