数学
高校生
解決済み
指数関数の方程式で、なぜ指数部分のみで比較することができるのかわかりません。教えてください🙏
次に、拍奴
10
例題 次の方程式,不等式を解け。なぜ指数部分のみを比較??
1
XC 1\x+1
(3) ( 1 ) * > ( 1 ) ***
(22x-1≦8
(1) 9*=27
2
解 (1) 方程式を変形すると
よって
これを解いて
(2) 不等式を変形すると
底2は1より大きいから
これを解いて
15
20
32x=33
2x=3
3
x=
2
2x-1 23
x-1≦3
x≦4
2x
x+1
(1/1)> (1/2)*12
(3) 不等式を変形すると
底 は1より小さいから 2x <x+1
これを解いて
x<1
1
回答
回答
マニアックな話をするので
聞き流して貰えばと思います。
指数関数は単射であるからです。
つまり
f(x)=f(y) ならば x=y
なので、指数同士の比較ができます。
興味ありましたら、
https://keito.luxe/2020/02/22/injectionsurjectionbijection/
などを見てみてください。
ちなみに狭義単調増加（減少）関数は単射になります。
指数関数3^xは狭義単調増加関数です。
今回の問題については単純に
両辺の対数を取るのがわかりやすいかと思います。
(対数は指数関数の逆関数で、
逆関数の存在のためには
元の関数の単射性が必要なので
上の議論が後ろに隠れています。）
単射でない関数には例えばf(x)=x^2があります。
この場合は指数関数とは話が違ってきまして、
f(1)=f(-1)=1
だから
-1=1
とするのは明らかに間違いです。
疑問は解決しましたか？
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