まずは、場合の数を数えるための基本的な考え方を,集合の要素の個数を 求めることを通して身に付けていこう。 A 集合の要素の個数 目標集合の要素の個数が求められるようになろう。 (p.16 練習 2|) 10 集合の要素の個数を求める方法を考えていこう。 集合Aの要素の個数が有限であるとき,その個数を n(A) で表す。 たとえば,1から 10 までの自然数全体の集合 A={1, 2, 3, …, 10} の要素の個数は 10個であるから, n(A)=10 である。また,空集合のは要素が1つもない集合であるから, n(の)=0 である。 15 例 集合の要素の個数を求める。 1 全体集合をU={1, 2, 3, 4, 5, 6} A 1 B 2 とする。びの部分集合 6 3 4 A={1, 2, 3, 4}, B={2, 4, 6} 5 について n(A)=4, n(B)=3 また,AUB={1, 2, 3, 4, 6}, 20 和集合を AUB, Aの 補集合をAで表す。 また, 共通部分を AnB で表す。 A={5, 6} であるから n(AUB)=5, n(A)=2 終 *「集合」は数学Iで学ぶ内容である。6~11ページで、本章を学習するのに必要な数学 Iの「集合」の内容を準備として掲載している。 25

第1節 場合の数 15 練習 例1の集合U,A, Bについて, 次の個数を求めよ。 1 (2) n(B) (3) n(ANB)(4) n(AUB) 集合の要素の個数は,前ページ例1のようにそれらを直接数えること で求められるが,効率よく求めるために,いくつかの公式を考えよう。 まず,全体集合Uの部分集合 A, Bに対して,AとBの和集合 AUB の要素の個数 n(AUB) について考えよう。 n(A)=a, n(B)=b, n(ANB)=c とすると,右の図からわかるように A B n(AUB)=(a-c)+c+(b-c) c個 =a+b-c 10 (a-c)個 (b-c)個 である。すなわち,次の等式が成り立つ。 n(AUB)=n(A)+n(B)-n(AnB) 次に,Aの補集合 A の要素の個数n(A) について考えよう。 A Aは,全体集合びの要素からAの要素を 除いた残りである。したがって, 次の等式が 成り立つ。 15 A n(A)=n(U)-n(A) 集合の要素の個数について, 次のことが成り立つ。 LG

16 第1章 場合の数と確率 -U(40個) 全体集合びの部分集合 A, Bについて 2 例 B(25個) n(U)=40, n(A)=18, n(B)=25, n(ANB)=6 であるとする。 (1) n(AUB), n(A)を求める。 n(AUB)=n(A)+n(B)-n(AnB) |A(18個)) 6個 =18+25-6=37 n(A)=n(U)-n(A)=40-18=22 (2) n(AnB)を求める。 ド·モルガンの法則より AnB=AUB であるから n(AnB)=n(AUB)=n(U)-n(AUB) 10 =40-37=3 終 全体集合びの部分集合 A, Bについて n(U)=30, n(A)=20, 2 n(B)=12, n(ANB)=7 であるとき,次の個数を求めよ。 目標 練習 (2) n(AUB) (3) n(AnB) B 集合の要素の個数の活用 目標 倍数の個数が求められるようになろう。 (p.17 綾習 5 集合の要素の個数の公式を活用して,様々な場合の数を求めよう。 100人の人に,aとbの2間のクイズを出題したところ, aに正解し た人は 77人,bに正解した人は 84人, a, bともに正解した人は 66 練習 3 人いた。aにもbにも不正解の人は何人いるか。 練習 練習3について,右のような正 bに bに 4 解,不正解の人数の表を作った。 正解 |不正解 合計 表の空らんをうめ,次の人数を aに正解 66 77 求めよ。 |aに不正解 (1) aにだけ正解した人 合計 84 100 (2) bにだけ正解した人 .エ お の法印。 て」 11 9