もう一つ、asではなくsoを使うのは、asとsoの意味の違いが関係していて
asを使う場合は客観的に「〜と同じくらい」と言っているのに対して
soは、話し手の目の前で起こっていることとか、実際に経験したことがともなってるんです。

soは主観的な表現なんです。例えばso big as〜というとき、客観的にそれが大きいかどうかというよりは、その人がbigだと思っているというのが重要です。

「とても」という意味でsoを使うときも同じで、so bigとvery bigの違いは、先ほどのsoとasの違いにかなり近いです。

「【〜さえ】しなかった」というとき、話し手は、
誰かが、些細なこととか、して当たり前のようなことをしなかったというのを実際に経験していて、「そんなこともしなかった」というニュアンスなんです。
「そのように」とか「そんな」という意味でsoを使うこと、ありますよね。

without so much as doing のasの意味と品詞がわかりません。without=前置詞　so much=副詞だと思っているのですが..
あとwithout even doingでevenは副詞だと思うのですがwithoutを修飾しているのですか？

説明の順番が前後しますが
evenは副詞で、doを修飾しています
doingは名詞なのになんでevenが修飾できるんですか？って言うとおもうので先手を打っておくと、
without even doingっていうのは前置詞+動名詞の形になってますが、これはdon't even do っていう節の形が先に想定されていて、これを前提に前置詞句の形で書いています
doingじゃなくてdoをevenが修飾している、というのはそういうことです

withoutの文は適切な例文を探すのでお待ちください

He left the party without [doing] so much as talking to his ex-girlfriend.

って考えます。

He did not [do] so much as say goodbye to me.

これと同じ理屈です。

この2つの例文のdoingやdoは
うしろのtalkingやsayがあれば、意味的にはなくてもわかるし、この構文自体がよく使われがちなものなので、省略自体が慣例化されているんだと思います。

すみません、
「without even doingっていうのは前置詞+動名詞の形になってますが、これはdon't even do っていう節の形が先に想定されていて、これを前提に前置詞句の形で書いています」
ここの部分がどういうこと言ってるのか理解できません。

さらに追記です

without so much as talkingのasの品詞は、辞書の用例を見るならば、接続詞となりますが、
so[as]～asの表現は品詞で解釈しきれない面はあります。
（だからこそ受験参考書などではこの構文覚えろ的な教え方がされる）

ただし、通常の同等比較の文と同じように、比較構文の基本ルールは適用されます。
当たり前のことだけど深く考えたことないだろうと思うので説明します。

①「うしろのas」の後ろに、比較対象が書かれる。
②比較する2つのものは、同じ性質のもの（形容詞と形容詞、副詞と副詞、など）
特に②が重要です。
without [doing] so much as～／did not [do] so much as～　としたのは、
doingの方は比較対象がtalking～となっているし、doの方はsay～となっているからです。

普通、同等比較の文というのは、【ある名詞とまた別の名詞について】、「程度の高低が明確な形容詞や副詞」の程度を比較するものです。
ってことは、2個目のasのうしろの比較対象の部分に名詞がくるわけです。
そうすると、2個目のasは接続詞で、名詞だけ書かれて残りは省略されている、と考えて、納得しやすいと思います。
省略の仕方もありがちなパターンですしね。
Jeff is as tall as I [am tall].とかShe cannot run as fast as he [can run].とかっていう文を考えてください。

ところが今回のnot so much as～ の構文では、名詞ではなくて、【動（名）詞と動（名）詞】を比較しているので、
2個目のasの後ろに動(名）詞がくるから変な感じがするわけです。
辞書を見るかぎりはasは接続詞だ、だけどこんな省略のしかたしないよな？おかしいぞ、となるわけです。

一番基本的な【ある名詞とまた別の名詞について】の比較の表現がさきにあって、その型を応用する形で作られている表現が、【動（名）詞と動（名）詞】の比較です。
要は「型を借りている特殊な表現」なんです。
だから、文法的にあれ？となる部分があってあたりまえだし、
型を借りている部分の構文解釈についても他の方の回答のようにas much asを副詞としてとらえるのも合理性があると思います。

自分は、いま言ったような経緯を踏まえて、そもそも品詞から考える構文解釈になじまない表現だと考えて、ただしさっき言った比較構文のルール①②はきちんと踏まえられている、という点だけは確認するようにしています。

＞without even doingっていうのは前置詞+動名詞の形になってますが、これはdon't even do っていう節の形が先に想定されていて、これを前提に前置詞句の形で書いています

たとえば
①that it is important（それが重要であること）
②how important it is（それがどれほど重要か）
という名詞節は

③the importance of it／④its importance（それの重要性）
という名詞句で表すことができます。
③④の形を「名詞構文」とかって言ったりします

名詞構文（名詞句の形）が書かれるときには、主語＋動詞がきちんとある形（名詞節の形）が先に想定されているってことです。
これは名詞構文に限った話ではなくて、
to 不定詞とか動名詞のまとまりとか関係代名詞のまとまりのように、何かしら語順が動いていたり、文として成立するための何かが欠けている形を用いるときも、何も欠けた部分がない節の形があらかじめ想定されて、そこから形を動かすわけです。

今回の文の場合、
「元カノに話しかけさえしない」という部分を考えるとき最初に浮かぶのは
[主語] don't even talk to his ex-girlfriend という節の形です
↓
これを「話しかけさえしない【で】」っていう副詞的な表現にして、He left the partyの後ろにおきたい、となったときに
↓
with 名詞を使えば副詞的な表現が作れるから、動詞を動名詞の形に変えてもってこよう
↓
否定文だからwithoutにしよう
↓
without even talking to his ex-girlfriend
という形に変換しているわけです。

↑の説明は、「私が勝手にこういう発想で理解しています」ってことではなくて、

英語の使いこなしてる人たちの頭の中でほぼほぼ無意識に行われている操作を説明するならこうなる、ということです。

使いこなしている人たちは無意識に行っていることですが、
私を含め勉強中の人たちはいちいち意識してこれを行う必要があります。

勘違いしてほしくないので付け加えておきます。

なるほどありがとうございます！

so much asでなんて言う訳ですか？

so much asでなんて言う訳ですか？　→　分部切りの so much as には意味がありません。
肯定文では as much as …：…と同じくらい(多い)、否定文 not so much as …：…ほど(多く)ない　の意味です。

否定文でsoはasではだめなのですか？
not as(so) Ａas Bは参考書に書いてあるのですが、それ以外のnot so much as doなどにはasでもよいなど書いてないのですが..

否定文でsoはasではだめなのですか？　
→　ダメではありません。どちらを使ってもOKです。ただ、so … as は肯定文では使えないという意味です。

not so muchas do
without so much as doing
上の文のasはそれぞれ品詞と意味を教えてほしいです

シャイニ－さん、ご自分の辞書でasを調べてみてください。
品詞は二つ記載されています。
1. 接続詞　2. 前置詞　です。

どちらだと思いますか？

上の文は品詞と意味がわからないです。前置詞なら名詞が来てないし、接続詞じゃないと言われましたし、副詞は形容詞や副詞の前において使うとしか書かれてないので使えないと判断した結果わかりません。
下の文は前置詞のasだと思いますが、何の意味なのかは意味が合わなく辞書を引いても良くわかりませんでした。

上の文は品詞と意味がわからないです。 →　私もわかりません。と言うよりも、今まで考えたことがありません。

下の文は前置詞のasだと思いますが、何の意味なのかは意味が合わなく辞書を引いても良くわかりませんでした。
→　単語別の品詞の分類をすれば、without(前置詞)＋so(副詞)＋much(副詞/形容詞/名詞?)＋as(前置詞) doing(動名詞)のようになりますが、今までこのような分断分析をやった経験が一度もありません。
なぜなら、それをやる意味が私個人は全く考えられないから、やりません。
私は英文の分析ではなく、意味を知りたいからです。
従って、各単語の品詞分析はしないし、また辞書も引きません。
辞書を引くのは、単語・連語の意味確認のためであり、品詞は見ても覚えようとはしていません。

これはあくまでも私個人の学習方法であり、人により方法は異なります。
シャイニーさん自身の英語力向上のための学習方法は、色々な人の方法を見聞きして、試して、自分に合う方法を見つけるしかありません。
早く見つけられることを願っています。

最初の私の回答②：Kate left [without(前置詞) so much as](副詞句) saying(動名詞) good-by to me.は①の [not so much as](副詞句)に合わせるために、便宜上やりました。しかし、これには文法上の無理があります。
各単語の働きと前後の単語の働きが合致しないことがあるからです。
それよりも、[not so much as]も [without so much as]も＝not(否定)と考えて、次の英文に移動して内容理解に努めます。

「副詞は形容詞や副詞の前において使うとしか書かれてないので使えない」との判断は○✕両方が含まれています。
副詞の基本的な働きは動詞(be動詞、一般動詞)の補助的説明です。

シャイニーさんを含めて色々な質問を見て、できる限り回答しようしています。
間違うこともありますが、それも自分の今後の勉強に役立ちます。
様々な質問を見て、回答者も勉強していますよ。　

なるほどそう捉えていたのですね、自分は英語の熟語で今つまづいています。熟語の意味だけわかっても、後にどのような単語を繋げられるのかわからなかったら作文など英文解釈でつまづく可能性があると思ったのです。質問なのですが、今みたいな熟語がでてきたらどのように対処していけば良いでしょうか。

私が勧める方法：覚えたい単語や熟語を含む『英文を覚える❣』
覚え方：①英文を見て声に出して読み、直後にその日本語訳も声に出して読む✕3回✕3回✕3回＝合計9回
②英文を見ないで声に出して言い、直後にその日本語訳も声に出して言う✕3回✕3回✕3回＝合計9回
※②ができない場合は①に戻る
③何も見ないで日本語訳を声に出して言い、直後に英文を声に出して言う✕3回✕3回✕3回＝合計9回
(④英文を正確に書けないとの不安があれば、英文を声に出して言いながら、その英文を書く✕3回✕3回✕3回＝合計9回)

この方法を毎日続けると、英文を読む速度が速くなり、リスニングが苦でなくなり、英語を話す出だしが早くなり、書くことも話すことも、英文の大きな間違いが少なくなります。つまりは、英語の４技能が習得しやすくなります。
この「声読」は多くの予備校講師も勧めています。
試しに、やってみてください。