"there"は名詞と副詞の2種類があり、大抵は「そこに」などの副詞として扱われます。
"There is a child under the tree."
この文は倒置(主語と動詞の順番が入れ替わる)を起こしていて、"a child"が主語、"is"が動詞です。
"There be動詞 …"という構文は存在文といわれ、この時の"there"は「そこに」という意味を失っていて、ただ文法的につけているだけの単語です。
文法的に付いていて意味がない主語の代表例として
"It is sunny today."→今日は晴れだ。
この"it"が当てはまります。
つまり、意味的な主語は"a child" で文法的な主語は"there" です。
難しいですが、"There be動詞 …"の構文は特殊だけれど、この構文を疑問文にすると
"Is there a child under the tree?"
となって"there"が主語として扱われるということは覚えておいてください。
ちなみに、SANAさんの
"A child is under the tree."
これは、"a child"が誰なのかを話し手と聞き手がしっかり把握しているときに使える文です。
「木の下に子供が数人いる。」という新しい情報を聞き手に伝えているので、文の先頭は"there"にして構文を用いた方が適切です。

これはどちらもthereが主語なのではありません。there be 構文はbeの後ろにあるのが主語にあたるため、1枚目だとsome children 2枚目だとa childが主語にあたります。
主語をa childに変えるというのはsome childrenの部分をa childに変えればOKです。

there areに名詞を伴って「〜がある」という意味になります。この場合は木下に子供がいるという訳になりなす。なので、2枚目の主語はa childです。
この問題は主語をsome child（複数形）からa child（単数）になるとthere are からthere isになるのが大事なポイントです。なので、解答の答えが良い答え方です。質問者さんの解答だと減点になるかもです。

解答(2枚目)は主語がThereです。私が書いた答えは正解ですか？ →　There(副詞) は主語になれません。a childが主語です。
SANAさんの解答は正解ではありますが、もっと良い正解があります。

〇A child is under the tree. 一人の子供が木の下にいる。
◎There is a child under the tree. 一人の子供が木の下にいる。← 元の文と同じ形式だから◎

参考にしてください。