DからACに垂線を下ろし、そこをHとします。

まず、半直線CDは円Oに対する接戦なので、
∠CDO=90°です。

△CDOで、三平方の定理より、CD=3√3になります。

すると、△CDOの面積は、CDを底辺・DOを高さとして求めることができます。（画像の青色）

つぎに、△CDOの面積を、OCを底辺・OHを高さとして式にします。OHは分からないのでｘとします。（画像の赤色）

どちらも△CDOについての式なので、等式で繋げて、ｘについて解くとｘ= 3√3／2 と求まります。（画像の緑色）

よって、△AODの面積はAO(底辺)×DH(高さ)×1/2。
3 × 3√3 /2 × 1/2 より、答えは、9√3 / 4 です。