∠Cの二等分線とABとの交点が円の中心なのはあってます。

問題は半径をAもしくはBに合わせたところです。
∠Aおよび∠Bが90°であればそれでも間違ってないんですが…

ようは円の半径と接線は垂直に交わることを使って、その交点から垂線を引いた交点が求める接点Pで、交点と接点Pまでの半径で円を描くと綺麗にがあります。
あくまで辺BCとADに接する円なので、AとBは通らなくて大丈夫です。