里安例題T02 放物線と円の共有点 接点 放物線y=x°+aと円x+y?=9 について,次のものを求めよ。 (1) この放物線と円が接するとき, 定数aの値 (2) 異なる4個の交点をもつような定数aの値の範囲 基本 95 指針>放物線と円の共有点についても,これまで学習した方針 共有点→実数解 で考えればよい。 この問題では,xを消去して、yの2次方程式(yーa)+y°=9の美然 解,重解を考える。放物線の頂点は v軸上にあることにも注意。 (1) 放物線と円が 接する とは、円と放物線が共通の接線をもつこと である。この問題では、右の図のように.2点で接する場合と1点 で接する場合がある。 (2) 放物線を上下に動かし、 (1)の結果も利用して条件を満たすaの値の範囲を見極める。 接点→重解 1点で 接する ct 2点で接する 解答 (1) y=x°+aから これをx°+y?=9に代入して <xを消去すると, yの2次 方程式が導かれる。 x=y-a (y-a)+y?=9 よって y+yーa-9=0 x=9-y20 ゆえに -3<yハ3 ここで,x°+y°=9から [1] 放物線と円が2点で接 する場合 2次方程式Oは②の範囲 にある重解をもつ。 よって, ①の判別式をD 37 4 a=-3 a=3 a= ツ 3| 3 3- 13 x 0 /3 x 0 -3(0 J3 -3 とすると D=0 37 D=1°-4-1-(-a-9) 4 =4a+37 た吹の 37 であるから 4a+37=0 すなわち a=ー 4 る。ああアら (2次方程式 このとき, ①の解は y=-号となり, ② を満たす。 ニー- py°+qy+r=0の重解は [2] 放物線と円が1点で接する場合 図から,点(0, 3), (0, -3) で接する場合で 9 ソ=ー 2p a=±3 頂点のy座標に注目。 以上から,求めるaの値は 37 土3 4 a=ー (2) 放物線と円が4個の共有点をもつのは, 右の図から, 放物 線の頂点 (0, a) が, 点(0, ー)から点(0, -3)を結ぶ線 37 分上(端点を除く)にあるときである。 -310 37 くa<-3 したがって 一

別解 y=x*+aとx+y°=9 からx°を消去すると y+yーa-9=0 の -3SyS3 ソト -3 3 また,x°=9-y°0から ここで,x*+y?==9から ソ=-3, 3であるyに対してxはそれぞれ1個(x=0) -3<y<3であるyに対してxは2個 定まる。したがって 間 u )放物線と円が接するのは,次のいずれかの場合である。 [1] 0 が y=3 または y=-3を解にもつ [2] Oが -3<y<3 の範囲に重解をもつ [1]のとき (-3)°+(-3)-a-9=0から -3(x」 0 13 -3 重解 イxについて重解。 イyについて重解。 AOにy=3を代入。 AOにy=-3を代入。 3°+3-a-9=0から a=3 a=-3 [2] のとき,前ページの解答(1) [1]と同様にして a=- 37 37 4 したがって a=±3, 4 サイベげ (2) 放物線と円が異なる4個の交点をもつのは、①が-3<v<3 O円OC の範囲に異なる2つの実数解をもっときである。 よって,次の[1]~ [3] を同時に満たすaの値の範囲を求める。 なお,f(y)=y°+y-a-9とする。 [1] 0の判別式をDとすると D>0 軸 37 よって,4a+37>0から の内部に a> 4 2) く o/ [2] 軸について-3<-く3でこれは常に成り立つ。 c1 2 られるが [3] f(3)=3-a>0から a<3 0T f(-3)=-3-a>0から aく-3……4) 37 の~のの共通範囲を求めて <a<-3 ( S)1 4定数aを右辺へ移項。 参考 0から ゆえに,g(y)=y+y-9として, 一3<y£3における2=g(y) のグラフと直線z=aの共有点を考えて解いてもよい。 y+y-9=a 2=g(y) 2|3 1 -3 g0)=(y+- であるから,右の図より 4 0 3 ①円 2 -3 (1) 2=g(y)のグラフと直線3=aが接するか, 共有点のy座 -9 37 a=±3, 37 標が y=±3 となる場合を考えて 4 4 直線z=aを上下に動かし 判断する。 (2) 2=g(y) のグラフと直線z=aが, -3<y<3の範囲に異 なる2つの共有点をもつ場合を考えて 37 <a<-3 4 陳習 放物線 y=2x°+aと円x+(y-2)=1 について, 次のものを求めよ。 0102 (1) この放物線と円が接するとき, 定数aの値 (2) 異なる4個の交点をもつような定数aの値の範囲 (p.165 EX68