303 n が2以上の自然数のとき,xの整式x"-nx+(n-1) (x-1)で割り切れることを,数学的帰納法によって証明せよ。

303 成り x"-nx+(n-1) [1] n=2 のとき ① とおく。 した **ーnx+(n-1)= x?-2x+1 305 =(x-1)? よって,① は (x-1)?で割り切れる。 せに [2] k22 として, n=k のとき, ① が(x-1)? で割り切れると仮定する。 n=k+1 のとき xk+1-(k+1)x+k =x{x*-kx+(k-1)}+kx?-2kx+k =x{x*-kx+(k-1)}+k(x-1)? x*-kx+(k-1), (x-1)?はともに(x-1)? で割り切れるから, ① はn=k+1のときにも (xー1)?で割り切れる。 [1], [2] から, 2以上のすべての自然数 nについ て, ① は(x-1)2 で割り切れる。