4 軌道上を 2m/s), 地 次の問いに答えよ。 ただし, 月は質量 M [kg),半径 R[m]の球体とし, 弾丸,の質量 を近(kg)ノ万有引力定数をG[N·m?/kg°]とする。 また, 数値を求める場合の答えの 有効数字は2桁でよい。 人工衛星 【A)月の表面から表面に垂直に無限遠方に向けて弾丸を発射する。 (1) この弾丸が無限遠方に達するための最小の初速度 m/s] を表す式を求めよ。 このとき,弾丸が発射直後にもつ運動二ネルギーの数値を求めよ。ただし, m=2.0 kg, G= 6.7×10-1! N.m?/kg? およびM=7.3×10 kg, R=1.7×10° mで ある。 位時間に ]の大き きる速度 (B] 次に,図のように, 月の表面から 発射した弾丸が地球表面に達するた めの最小の初速度 v」 [m/s] を求めた い。ただし,弾丸は地球の中心と月 の中心を結ぶ直線上を飛行するもの とし,月の地球の回りの軌道運動は 考えないものとする。地球の質量は月の質量の 81倍である。また, 地球の中心と月 の中心の距離をDM]とする。 (1) 地球の中心と月の中心を結ぶ直線上において,月の中心からx[m}の地点A まで は月の引力が勝るが/地点 A を越えると地球の引力が勝っている。月の表面から この直線上を地球に向かって飛行する弾丸ばこの地点Aを越えることができたら 地球に向かって落下できる。 (2) 地点A での弾丸の位置全ネルギーVD]は,地球の重力による位置エネルギーと 月の重力による位置エネルギーの和である。VをDを用いないで表す式を求めよ。 (3) 月の表面から発射された弾丸の力学的エネルギーが(2)で求めた位置エネルギー より大きければ弾丸は地球表面に到達する。このことから上記のひ」を表す式を 求めよ。 (4) 弾丸が地球表面に達するために与えなければならない最小の運動エネルギーは 弾丸が無限遠方に達するために与えなければならない最小の運動エネルギーの何倍 か,その数値を求めよ。ただし,DE3.8×10°ゆである。また,必要ならば [A](2) で与えた数値を用いよ。 地球 弾丸 質量 m 月 半径 R 質量 M VA A 質量 81 M トーxー D A m この(xをDを用いて表す式を求めよ。 (C] [A]の速度 は「脱出速度」とよばれる。質量が同じ星の脱出速度はその半径が 小さいほど大きな値になる。半径が小さくなり脱出速度が真空中の光の速さ (3.0×10°m/s) となるような天体は「ブラックホール」とよばれる。この天体が太陽 と同じ質量(2.0×10°kgYをもつ球体である場合,その半径は何 km か, 半径の数値 を求めよ。 3.3 く-> 8lx -(ー)

[4 [A](1) 無限遠で力学的エネルギーが0となればよい。 2GM GMm -%D0D R ゆえに Vo= R (2)×2.0× 2×6.7×10-1l×7.3×102 1.7×106 =5.8× 10°(J) GMm 81GMm D ゆえに x (D-x) 10 81GMM GMm 81GMM GMm 10GMM (2) V=ー- ミー。 D-x x 10xーx GMm 81GMm 10GMM 2 2 R D-R X 2GM(D-10R)? RD(D-R) 1 81 100 =2GM R D-R D 2GM RD(D-R) ゆえに 」=(D-10R)。 2 2 01 (D-10R)?×2GM RD(D-R) (3.8×10°-1.7× 107)? 3.8×10°×(3.8×10°-1.7×10) ブラックホールの半径を R'[m), 質量を M' (kg] とすると, [A](1) の式より (D-10R)? D(D-R) R 2 2GM mvo =9.2×10-1 (倍) ニ 2GM' 2×6.7×10-11×2.0× 1090 R'=- -%=3.0×10°(m) =3.0 (km) c? (3.0×10)?