まず、より簡単な例として、1から10までの積において、3の指数がどうなるかを考えてみます。
1から10の中で、3の倍数は3,6,9があります。そのうち、9については3の二乗なので、素因数としては3がダブルでカウントされます。
これを次のように計算します。
①3の倍数の数を計算⇨10÷3の商を求める⇨3個
②3の倍数のうち、3²の倍数でもある数を計算⇨①の結果を3で割った商を計算⇨1個

②の結果の1個というのは、9なので一つでダブルカウントできるので、既に①でカウントしたのに加えてもうひとつカウントすることになります。

さて、本番です。
1から100までの積を考えます。
①3の倍数の個数は、100を3で割った商なので33個ですね
②次に、3²つまり9の倍数の個数は、33個ある『3の倍数』のうちだいたい3回に1回の割合で登場するので、33を3で割った商、つまり11個となります。たしかに、9,18,27,...,90,99とかぞえると11個あります。
③さらに、3³つまり27の倍数の個数は、②の結果である11を3で割った商を計算して3となります。たしかに、27,54,81の3種類ありました。
④さいごに、3⁴つまり81の倍数の個数を数えます。ここは計算するまでもなく、81のひとつだけですが、それは、③の結果である3を3で割った商でもあります。

このように、100からスタートして、3で割った商を求め続けると、自然に3,3²,3³, ...の倍数の個数がわかります。

最終的に欲しいのは、1から100まで全部掛け算したときに何回3をかけたことになるか、ということですが、
①3の倍数は33個
②そのうち、9の倍数は11個なので、その個数だけ3の要素を追加
③さらにそのうち、27の倍数は3個なので、その個数だけ3の要素をさらに追加
④さらにさらにそのうち、81の倍数は1個なので、その個数だけ3の要素を追加
で、結果として二枚目のような計算になります。