3 自然数nに対し, 2"の一の位の数を a, とする。 また, 数列{b}は a, bn b」=1, bn+1 = 4 を満たすとする。 22. 22 (1) a」=2,a2(= ア4 イン ウ6, as = エ2であ a3 = a4ミ る。このことから, すべての自然数 n に対して, a のmとなることがわか る。 オ に当てはまるものを, 次の0~④のうちから一つ選べ。 5n 0 4n+1 の n+3 n+4 の n+5 (2) 数列{b,}の一般項を求めよう。 ① を繰り返し用いることにより an+3Qny2 an+14n bn+4 = 2 が成り立つことがわかる。 ここで, ay+3Qg+24h+1Qn=3 · 2 であること 6.8;%2 bh が成り立つ。このことから, 自然数&に対して P2 = 3.21 2 から、bn+4 = [(ケ k-1 コ コ3 b4k-3 = b4k-2 = サ サ2 k-1 k-1 セ コ3 コ b4k-1 b4k = ソン サュ サ である。 2 Farg: 3:8 1 4-0-8a 24 28 a(a-3) >o 24 ●(バー3)20 a<月,5くの 30 3latll(a-1) AIK

20 2015年度: 数学Ⅱ·B/本試験 (3) S,= 2 b;とおく。 自然数mに対して コ Sam タ チ サ である。 (4) 積b」bz…b。を T, とおく。 自然数kに対して (k-1) コ b4k-3b4k-2b4k-」b4k ツ サ であることから. 自然数 mに対して トm2- 2x/ 4 Tam 1 コ ツ サ である。また,Tioを計算すると, T10= 3 である。 ヌネ 2 10F| -On で入カこズメ 06 x 2 6 - 1 25 2 16 25 20 16 2 1 16 16 ア テ -Io 161o -lo1 l0

である。この数列 {a.} は, 2,4,8,6, 2,となり,「2.4.8.6」 24 2015年度:数学II·B/本試験(解答) /本試験(解省) 25 bak-2)-2=… 第3問 ba4-1)-2- やや(項が循環する数列, 漸化式, 数列の和》 bu-2= -1 (1) 自然数nに対し, 数列 {2"}は -1 bau-(k-1)}-2 b--24- 2,4,8,16, 32, … 134-1 ×1 (:あ は 1 であるから,この数列の各項の一の位の数を順に並べた数列 {am}は 2 2。 a=2, a= 6 a2= 4 8 as= A3= 3 bu-1=言b4(4-1)-1= b44-2)-1=… をこの順に繰り返す (循環する) 数列であるから,anはつねに4つ後の項。 等しくなる。 したがって,すべての自然数nに対して 44=dn となることがわかるか。 オ」には が入る。 (注)なお,このことがら,一般に a+u=Q« (i=1, 2, …) が成り立つから ; とすると,asm=a,もすべての自然数nに対して成り立つことがわかる。 よって、 となる。 (3-1 (34-1 mil= () b4k-(k-1)}-1 であるから 1 (34-1 2 * 6,=4bz 2 4 4 b4(k-2) =… bak=b44-1) = オ」には O が入るとすることもできる。 ()と増 -1 -1 b4k-(k-1)} a,b, bi=1, b+1= 4 (n=1, 2, 3, …) ① 9AO 合 2 4A ホ 熱画 AO - n+3 x22 x bnt より,これを繰り返し用いると と求めることがで 4-1 8× a:bs b,= 4 an+3 In+2 b。+2= ×あ x 4 an+3 ba+4= ba+3= 4 4 4 4 4 4 である。 an+3、An+2An*1 4 -bm 4 三 4 4 (3) S.=Eb, とおくとき. 自然数mに対して -1 an+34m+24m+1Qm 28 bn(n=D1, 2, 3,…) Sm=(bi+ba+bs+b)+(bs+be+b;+b.)+… が成り立ち,am+3Qm+2Qn+]@nは,2と4と8と6の積に等しいことから +(bum-3+bum-2+bum-1+blm) an+3Qm+24q+1Qm=2×2°×2°×2×3=3·2台) 3T =2(bu-3+bu-2+ba-1+bu) であるので k=1 となるが、ここで, (2)の結果を用いると 3-27 3 bn 2 b+4= -b,= 2\-1 さ 不80<T -2. 2° の結 bu-3+bu-2+bu-1+bu= が成り立つ。このことから, 自然数kに対してた不者&18小さも 「=3× bk-3=b4(k-1)-3=( bia-2)-3=… をお断のTる であるから の和と /34-1 k-1 リ (3() 6) 102の回で E<D さ3 0<T-22 bau-a-1}-3 1O1 Stm= 23: k=1 3 &-1 2 る