まず式変形が正しいことは分かりますよね。この如何にも技巧的な式変形を思いつく理由を質問されてるのだと解釈します。

まず最初に言いますが、前後の流れが画像に無いので僕には考え方は分かりません。

技巧的な式変形を理解するためには、なぜその変形をしたのか、という目的が大事です。それが欠けては自分で技巧的な式変形ができるはずもありませんし、勘が冴えただけの解答に見えてしまいがちです。(普通に習いますが、2次関数における平方完成は技巧的な式変形の類だと思います。)

「アレをしたい」→「こうすれば同値変形をしながらアレができる」
式変形は大体こういう流れであるべきです。でないと経験や勘に頼るだけの解答になってしまいます。
「アレをしたい」に相当する部分、すなわちその式変形は何が目的なのかを考えることで理解が深まると思います。