これが全てです

これはいわゆるリプシッツ連続と言われるものです。
C*はI上でリプシッツ連続な関数全体の集合です。
リプシッツ連続なら一様連続なので明らかに部分集合となります。
あとは閉集合であることを示せばいいだけ。
Aの閉包⊂Aを示せばAが閉集合を示せる。
これは点の時の証明を関数に書き換えればほとんど流用できます。
似たような証明をアップしておきます。

距離空間であることの証明についてもほぼそのままの類題あったのでそれをアップしておきます。
模範解答作る時間はないので。
ちなみにC[a,b]は区間[a,b]上で連続な実数値関数全体の集合のことです。