元気カアップ問題 101 CHECK2 難易度 CHECK I CHECKS 17 で割ると6余り, 12 で割ると8余るような正の3桁の整数の内,最小 のものと最大のものを求めよ。 ニントリ 求める3桁の整数をnとおくと,題意より n=17.x+6=12y+8 ,y:整数)となるので, これから, 1次不定方程式17x-12y=2が導ける んだね。計算はメンドゥだけれど, 解法のパターンに従って解いていこう。 解答&解説 ココがポイント 17で割ると6余り,12で割ると8余る3桁の正の 整数をnとおくと, これは, 整数x, yを用いて 次のように表される。 n=17x + 6 n=12y + 8 -② (x, y: 整数) 1, 2よりnを消去してまとめると, 17x-12y= 2 …③ (x, y:整数)となる。 - 17x +6= 12y + 8 17.x-12y=2 17と12は互いに素より, ③の代わりにまず, 17x-12y=1 …④ の1組の整数解(x1, yi)を, 2つの係数17, 12についての右の 互除法 ユークリッドの互除法を用いて求める。 17 = 12 ×1+5⑤ の, 6, 5より, 12 = 5×2+2 |5-2.2=1 …… 2=12-5·2 ……6 5=2×2+1 ⑦ (5=17-12 … 5 のに6を代入して, 5-(12-5.2) · 2=1 2=1×2 最大公約数g=1 より,17 と 12 が 互いに素であるこ とが分かる。 5·5-2-12=1 ………8 1