「練習 nを自然数とする。次の関数の第n 次導関数を求めよ。 157(1) y=log.x 練習 (2) y=cosx 1 =x', y"=-x-2, HINT ) y=logx, y= x 求め y"=(-1)-2x-3, y)=(-1)°.2.3x-4 学的 ゆえに,y(m)=(-1)"-1. (n-1)! ① と推測できる。 n=1のとき ゾ=-=(-1)". ! -から, ① は成り立つ。 そ( x x [2] n=k のとき,①が成り立つと仮定すると yl)=(-1)-1. そy n=k+1のときを考えると,2の両辺をxで微分して (k-1)!(-k)-(一1)** を k! そ ニ -R+1 -k+1 x" よって, n=k+1のときも①は成り立つ。 [1], [2] から,すべての自然数nについて①は成り立つ。 したがって yla)=(-1)"-. x" 「人 * × を