(4,4)(-1,-6)(-6,9)の３つが答えです。
ケイリー•ハミルトンの定理ですぐに出る答えとは別に答えがあります。

こんな感じです。これとケーリーハミルトン

ただ注意しなければならないのは、
A²+A-6E=(A-2E)(A+3E)
は一般に成り立ちません。
なぜなら行列では積の交換法則は成り立たないからです。
A²+A-6E=0
(0は零行列であってスカラーの0でないことに注意)
ここでもA=2E,A=-3Eとだけ書くとアウトです。
なぜなら行列では零因子というものがあります。
ケーリーハミルトンの解がここでは因数分解(のような)
二つの積の形での零因子の役割なわけです。

哲治さん、こんにちは。

先ほど投稿したのですが、分かりにくかったので再投稿いたします。

哲治さんの解答で
AB=O ⇒ A=O or B=O
としているように思いますが、哲治さんも指摘している通り零因子があるので成り立ちません。

これでは、他の候補が存在する可能性を潰しきれていないので、そのことを証明する必要があります。

もし、ただ単に私が知らないということもあると思いますので、その場合はすみません。

Takさんへ
僕の説明が悪かったと思います。
まるで因数分解の解が主体のような印象を質問者に与えていたと思います。
まずこの因数分解(という言い方もおかしい)の解は当然に単位行列のスカラー倍の形のパターンしか出てきません。
従って、その他の形はケーリーハミルトンの形、つまり

a+d=-1,ad-bc=-6を満たすような行列Aとなります。
二次方程式は解は二個しかないけれども、ここでは行列なので、単位行列のスカラー倍の形とケーリーハミルトンの条件満たすように成分を定めたもの全部となります。

だからこの問題でも具体的にAを列挙せよとはなっていないのだと思います。
僕の理解不足だとすいません。
この補足説明でいかがでしょうか？

単位行列のスカラー倍が候補になるのは正しいのですが、それとケーリーハミルトンの形以外に候補がないことの説明が零因子を介すると不十分になりますね。

(A-2E)(A+3E) = O
を満たす候補として、A=2E, -3Eがあることは正しいのですが、これに尽きることを証明しないと解答としては不十分だと思います。

行列は零因子が存在する(代数的にいうと、行列環は整域でない)ので、単位行列のスカラー倍になるということを証明しないといけないですね。

つまり、零因子が気持ち悪くしているので、これを使わない解答が個人的にはすっきりすると思います。

なるほどですね！ 最初から零因子という言葉を使わずに、単位行列のスカラー倍とそうでない時に場合分けの形式で書くのが答案としては見やすいですね。

Takさんへ
余談ですけれど
最近になってやっと「整域」って勉強しました。笑
集合と位相のここらの基礎論は１年で完全に無視したので現在も完全に苦戦中です。(;ﾟロﾟ)

僕も関数解析を勉強したいのですけれど、ルべーグ積分の後に直接に勉強できますか？
それとも実解析とかで測度論をやった方が接続いいですか？

関数解析をやるなら、位相の習得は必須ですね。

距離空間やコンパクトあたりの概念をおさえた上で、Lebesgue積分の次にやっても問題ないですよ。

実解析あたりは哲治さんがそっち方面に進みたいなどがあれば取り組めばいいと思います。

ちなみに、私は複素の人間なので、実解析はやってません笑

また、測度論もPDEを目的にするなら、いらないと思います笑

Takさん、複素の方だったのですか！
僕は田村先生の解析関数を読んで一通りの複素関数論は読みました。
でも解析接続の概念だけは中々掴めません。(;ﾟロﾟ)
単なる留数計算とかローラン展開の計算問題ならできますけれども。
位相も頑張って勉強します！

すみません。
数の基本は実数派と複素数派が分野によっており、私は複素数派です。
そのような意味で複素の人間です笑

大学2年で複素解析を1通りすんでるのはすごいですね！
この調子だと、院試などは余裕そうですね。

でも自分でも百も承知ですけれど、薄いんですよね。笑
完成度はどうでもいいから、とにかく先に進んでるだけなんで。笑
性格的に一つをじっくりやるより、とにかく先が気になるんですよね。
全体像が知りたいんですよね。だから代数にしても、幾何学にしても解析でも、１番初等的な専門書をつなげてとにかく先に進んでるだけなんで。笑

なるほど。
ちなみに、私は理解が不十分だったところを教授に指摘されて、ぼこぼこにされた経験があります笑

全体像を把握するのはとっかかりには良いですが、高度な数学を真に理解するには深堀が1番大事ですよ！
特に、研究室配属からはその色が強くなりますね。

なるほどですね！
前にも言いましたように解析系に興味あるのですけれども、かと言って現時点でその外を切り捨てて集中するのももったいないと思っています。
学部生の間はとにかく色んな分野を見てみたいんですよね。ひょっとして整数論が来年にはやりたいとか言いだしてるかもしれないですから。笑
Takさんは割と早くから、自分が専攻したい分野に集中されてましたか？

確かに興味なさそうな分野を勉強したら、それが面白くなるとか普通にありますね！

私は大学3年くらいから解析系中心に勉強してました。
代数や幾何は最低限はやりましたが、深掘りはしてないです。

正直、専門分野の勉強しなければならない量が多過ぎて、他に割いてる時間がない感じですね笑

なるほどです。丁寧にありがとうございました。
今後ともよろしくお願いします。