おそらく自動詞と他動詞の違いや目的語が何かみたいなことがあまりあんまり理解できていないと思うので、その辺りのことを解説しますね。

まず、動詞には大きく分けて2種類の動詞があります。
run「走る」やswim「泳ぐ」のようなそれだけで使える「自動詞」とlike「~を好む」やbuy「~を買う」のような、後ろに「~を」にあたる名詞が必要な「他動詞」です。
例えば、友だちがすごく落ち込んで教室に入ってきたとして、「どしたん？」って聞いたら「おばあちゃん死んでもうてん」って答えたとします。そこで「何を？」とは聞かないですよね。そんなやつは変態です。dieは後ろに「~を」がいらない自動詞だからです。
一方、友だちが血まみれで教室に入ってきたとして「どしたん？」って聞いたら「俺、殺してもた」と言ったとします。「誰を？」と聞くのはおかしくないですね。killは他動詞だからです。
この「~を」にあたる名詞(代名詞を含む)を目的語といい、buy a car , like soccerだったらa car, soccerが目的語になります。

すなわち, 第1文型と第3文型の違いは, 動詞の後ろに目的語にあたる名詞が必要か否かです。
Vが自動詞ならSVだし、Vが他動詞ならVOがセットなのでSVOになります。
ちなみに, 前置詞+名詞のセットはS,V,O,Cどれにもならないので, ただの「飾り」,「ぜい肉」であるということを知っておくとよいと思います。そうすればI live in Osaka.という文でin OsakaがOだから第3だなんて言わないと思います。なお, Oは第3文型以外にも第4,5文型で出てきますが, どちらも動詞の説明であることに変わりはないです。

以上を踏まえれば
sleeps under the tree.のunder the treesは前置詞+名詞なので、これはSVOではないですね。

There is/are構文は特殊なので、覚えておいてほしいですが、覚えていなくてもOもCもないのでSVとみなすことができますね。