回答して頂きありがとうございます!

iとjの範囲は、
i,j=0,1,2・・・
で合っていますか?

線形空間 R[x,y]の任意の要素を一般形で書くとそうなる、ということで、aij=0を含むので i,j は全ての正の整数となります

重ね重ね失礼します。

aij=0を含むからi,jが全ての正の整数になる
というのは
aij=0のとき aij× x^i × y^j が定数項になり
i=0かつj=0 時を考えなくていいから
i,j=1,2,・・・
となるということでしょうか。

わからない時は具体的な多項式を書いてみて、その時のi,j,aij を考えてみるといいです。そうすると先ほどの式が R[x,y] の任意の要素を表していることがわかると思います。

例えば 2x²-√2x+xy+5なら
(i,j,aij) は (2,0,2), (1,0,-√2), (1,1,1), (0,0,5)
他のi,jについては (i,j,0) つまり aij=0

aij は係数だから aij=0 ということはそのi,jについて aij× x^i × y^j =0 ということ。
i=j=0 の a00 が定数項。

あ、しまった
＞全ての正の整数
ここは
全ての負でない整数
の間違いです。余計な混乱させてごめんなさい。

丁寧な説明ありがとうございます!
理解できましたm(_ _)m