発展 9日目 実戦問題 11 0でない複素数からなる集合Gは次を満たしているとする。 Gの任意の要素z, w の積 nを正の整数とする。このとき (1) ちょうどれ個の複素数からなるGの例をあげよ。 (2) ちょうどれ個の複素数からなるGは(1)の例以外にないことを示せ。 は再びGの要素である。 2W [01 京都府立医科大]

1 G={zla"=1} -cos 2 このとき、Gの要素の個数 n(G) は n(G)=nであり, zEG, WEGのときZ0EGを 8+4/3 2k元 +isin k=0, 1, 2, カー1) n 満たす。 n個の複素数からなる集合 G={z1, Z2, ……, Zn} が条件を満たすとする。 Gの要素wを任意にとる。 このとき、自然数k,し(1三k<Sn) に対して ZntWキz(10 であり, 条件により znt0EG. 3 Z,10EGであるから G={z,w, Z2W, ………, 9 Znto) となる。よって, Gの要素をすべて掛けあわせると となるから, w"=1 となる。 ゆえに,G={z|z"=1} 日 1個の複素数からなる集合Gが条件を満たすとする。 [1] 2をGの任意の要素とする。 このとき,任意の自然数んに対してzキ1 22, 2. (実際,zk=z' (k<1)とすると, z-k=1 となり,①に反する。) これは,Gの要素の個数 n(G) がn (有限) であることに反する。 よって, ある自然数んに対して 2^==1 特に,24=|2^|31から|2|31であり, 1EGであることもわかる。 102".2212= (0n"2) … (0232) (11z) ="..……·212 0が成り立つと仮定すると、 2. はすべて互いに異なる。 x のが成り立つ。 8