「基本例題50 2次方程式の解の存在範囲 OOOO0 2次方程式 x-2px+p+2=0 が次の条件を満たす解をもつように,定数pの値 の範囲を定めよ。 (1) 2つの解がともに1より大きい。 (2) 1つの解は3より大きく,他の解は3より小さい。 p.81 基本事項2 指針>2次方程式x*-2px+p+2=0の2つの解を α, Bとする。 (1) 2つの解がともに1より大きい。→α-1>0 かつ β-1>0 (2) 1つの解は3より大きく, 他の解は3より小さい。→α-3とB-3 が異符号 以上のように考えると, 例題 49 と同じようにして解くことができる。なお, グラフを利用 する解法(p.81 の解説)もある。これについては,解答副文の別解参照。 2章 |解答 2次方程式x-2px+p+2=0 の2つの解を α, Bとし, 判別式 をDとする。 2-(-かー(p+2)=がーカー2=(カ+1)(ー2) 別解 2次関数 f(x)=x°-2px+p+2の グラフを利用する。 D 解と係数の関係から 1) 21.8>1であるための条件は 一つaβがラじ可軸について x=p>1, Dり かつ (α-1)+(8-1)>0 かつ (α-1)(8-1)>d" D20から α+B=2p, aB=p+2 f(1)=3-p>0 っから 2<か<3 (p+1)(p-2)20 *ーp y=f(x) pS-1, 2Sp (α-1)+(8-1)>0 すなわち α+B-2>0 から 2カー2>0 よって の 3- ap よって p>1 0 1 『B (α-1)(B-1)>0すなわち aB-(α+B)+1>0 から p+2-2か+1>0 よって かく3 3 (2) f(3)=11-5p<0から 求めるかの値の範囲は, ①, ②, 3の共通範囲をとって -1 123 p p> 2Sp<3 2) α<Bとすると, α<3<Bであるための条件は (α-3)(B-3)<0 4題意から,α=βはありえ ない。 すなわち aB-3(α+B)+9<0 ゆえに p+2-3-2か+9<0 11 か> 5 よって 2次方程式x-2(a-4)x+2a=0が次の条件を満たす解をもつように,定数aの 50 値の範囲を定めよ。 (1) 2つの解がともに2より大きい。 (2) 2つの解がともに2より小さい。 (3) 1つの解が4より大きく, 他の解は4より小さい。 練習 (p.85 EX34 9 解と係数の関係、解の存在範囲