206 例題 128 点が動く範囲(2) 点(x, y)が原点を中心とする半径1の円の内部を動くとき,点(x+y, xy)の動 [東京大) く範囲を図示せよ。 指針 x+y=X, xy=Y とおいて, 点(X, Y)の満たす関係式を導けばよい。 点(x, y)は原点を中心とする半径1の円の内部を動くから +y?<1 ここでx+y=(x+y)*-2.xy を使うと 4放物線の上側の部分 X 1 すなわち Y> 2 2 X-2Y<1 変数の変域にも注意 しかし CHART 条件式 x°+y<1 であるから,x, yの値には制限があり,x+y=X, xy=Yのとる値にも がつくはずである。その制限はx, yの実数条件で,次のようになる。 x+y=X, xy=Y であるとき I x, yは2次方程式 ピーX++Y=0 の2つの解である。 2 x, yは実数→D=X'-4Y20 答案 x+y=X, xy=Y とおく。 点(x, y) は円 x+y°=1 の内部を動くから ゆえに,(x+y)*-2xy<1 であり x+y°<1 の また,x, yは2次方程式 -Xt+Y=0 の2つの実数解で X?-2Y<1 点の座標は実数 ある。この2次方程式の判別式をDとすると D=X°-4Y 実数解をもつための条件は,D20 であるから X?-4Y20 よって,0, ② から,X, Yの満たす条件は X?_1 0の条件だけでは不 十分。例えば、 1-i 1+i x= |2リース 2 キ とすると x*+y"=0<1 x+y=1, xy=; 2 ゆえに,点(X, Y)すなわち点(x+y, xy) の動く範囲は、 変数をx, yにおき換えて である。このような 合を除くために,@ 実数条件 D20 を れてはいけない。 x? 2 2 したがって,求める範囲は,右の 図の斜線部分になる。ただし, く 2 ソー、 境界線は放物線 y=- を 2 1 2 2 0 含まず,他は含む。 V2 V2

128|haria ta:bか発認とdみ がとのぞ6メ 2 ae-2b<1とhoのま b>Ja-5 点(7.)が東を中じんする経イの円の内吉町にあるので ス49<l w@ し送乃0 スタンai ayebとすね o Q1は(x*ツ) -2ny <lと差せるので また、ある2次程式の解を水っなとa%と ゼイスな)tt(る)- 0 21で、プルなは保軟 inで ③1は実久的降ををつ。 →0の判引り式D30 CPica-4b Q-4620 っきり 654a'm @Qかs abを攻撃えイース w®. €ーattb-0と表せる。 金(オすッラ)とかE ) の教をしてみから 2-4620 つすり 65¢a 292 a'n® (7 そびイ後n7 o