|1辺の長さが1である正五角形 ABCDE において, AC と BE の交 点をFとすると, △ABFの△ACB である。 このことを用いて, 次 のものを求めよ。 例題 88 (1) 対角線 ACの長さ (2) cos 72° の値 A 解答(1) AC=x とおく。 M36/367 M B まず、ABCF は BC=CF の二等辺三角形であ ることを証明する。 正五角形の1つの内角の大きさは 108°であり, AABC は AB=BC の二等辺三角形であるから F 72° 72° D ZBAC=(180°-108°)÷2=36° -C また,AABFSAACB から, △ABF も二等辺三角形であり ZABF=ZBAF=36° よって 2CBF=108°-LABF=72°, LCFB=ZABF+ZBAF=72° ゆえに,ZCBF=ZCFB であり,ABCF は BC=CF の二等辺三角形で ある。したがって CF=BC=1 の また AF=AC-CF=x-1 △ABFのAACB から AB:AC=AF:AB」 すなわち 1:x=(x-1):1 よって x(x-1)=1 x°-x-1=0 ゆえに AC-x=1t5国 1+、5 x>0 であるから 2 (2) BF の中点をMとすると ZBMC=90° また BM= 15-1 BF 2 2 よって, ABMC において Cos 72°= BC BM_V5-1 4 可j 題 答