回答ありがとうございます。初期条件の代入は

1= e^2x(c1+c2×)
4=e^2x(c1+c2×)

となりますか？

全く違う。
そのxに0を代入するという意味です。

それにもう１つは微分した式ですよ。

xに0を代入したら1になり、
微分した式のxに0を代入したら4になる
C1とC2を求める…

という認識でしょうか。

そうです。単なるそれだけのお話です。

y=e^2x(c1+c2×)

y(0)=c1e+0
c1e = 1
c1 = 1/e

y’= x2e^2 + e^2
y(0)=e^2
e^2 = 4 …?

y = e^2x(c1+c2×)
y = e^2x(1/e +×)…?

このようになったのですが…
間違っていますか？

完全に間違いです。全く計算間違ってますよ。
面倒くさいから高校レベルの計算をするつもりはありませんので。

お時間奪ってしまって、申し訳ないです。
ありがとうございました。

e^0=1ですよね

理解しました！ありがとうございました。