部分分数分解ってなんでもできるんですか？部分分数分解しようと色々やってみて最終的にはできたんですけどどうやってやれば分解できるのか　できる形とできない形の違いがよくわかりません

係数が実数の多項式を分子分母にもつ関数は、手計算で計算できるかは別として、どんな場合でも部分分数分解は可能で、原始関数を求めることができます。
http://tau.doshisha.ac.jp/lectures/2009.calculus-I/html.dir/node130.html

ポイントは分母の因数分解ですが、
分母をn次の多項式f(x)としたときに、f(x)=0は複素数の範囲でn個解をもちますから
f(x)=A(x-α1)(x-α2)…(x-αn)と複素数の範囲で因数分解できます。しかし部分分数分解で使う因数分解は実数の範囲での因数分解です。虚数解αには複素共役な解βもペアとして解に含まれるため、それらをペアにして
(x-α)(x-β)=(x^2-(α+β)x+αβ)と2次式にします。
ここで共役だから係数α+βとαβは共に実数になります。実数の範囲での因数分解とは係数が実数の因数分解ですから、このように虚数解はペアにします。
これで
f(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-am)(x^2+b1x+c1)(x^2+b2x+c2)…(x^2+bkx+ck)
と係数が全て実数で因数分解されます。
この形にしたあとで部分分数分解を行います。

因数分解はできたと仮定したとしてこの問題の場合は誘導が丁寧なのでどのように分解するかは予想できるのですが例えば分子が1だった場合も分解できるのでしょうか　それと３つ因数分解された時に３つで分解したり２つで分解したりなどその使い分けがいまいちわかりません、、

上のurlのように
分子の次数 < 分母の次数
ならばどんな場合でも部分分数分解できます。
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Apart%5B%28ax%5E3%2Bbx%5E2%2Bcx%2Bd%29%2F%28x%5E4+%2B+2+x%5E3+%2B+x+%2B+2%29%5D&lang=ja

どんな形に部分分数分解できるかもurl先に書いてある通りです。例を画像に載せます。