問題1のように解いたらいいのですか？
それもと問題2ですか？

問題１です。

私の問題では積分は提示されてないのですが問題1のように解いていいのですか？

球の体積なんて中学生でも知ってるお話なんで。
それを大学の重積分で公式の証明というか導出をするのが趣旨となります。

たびたびすいません。
この続きが理解できないのですが教えて頂きたいです。

単なる球座標系のヤコビアンですよ。

その次の8という数字はどこからくるのですか？

球を上下それぞれ４分割したときの１つを求めて、８倍してます。

積分区分はどこがaに置き換えたらいいのですか？

rの積分区間が0→aとなります

これで正解になりますか？

はい。

色々とありがとうございました。