溶けません。この電池は、亜鉛板と銅板を用いていて、負極で電子を投げている物質(負極活物質)は亜鉛ですが、正極で電子をもらっている物質(正極活物質)は銅ではありません。実際に電子をもらっているのは銅ではなく水素イオンで、だから正極では 2H^+ + 2e- → H2という反応がおきています。詳しいことは写真を見てください。
まとめると
負極 : Zn → Zn^2+ + 2e-
正極: 2H^+ + 2e- → H2
となり
この2式を連立方程式の要領で足すと、Zn +2H^+ +2e-→Zn^2+ + H2 + 2e-になりますが、両辺にある2e-を消去すると
Zn + 2H^+ →Zn^2+ H2となり、これが電池全体でみたときの反応式です。

イオン化傾向というものがあり、この場合は銅よりも亜鉛の方がイオン化傾向が大きいため、亜鉛がイオンに変わります。
おそらく、教科書の発展のページや参考書などには載ってると思うので見てみてください。