｢昔はよく両親と口喧嘩をしたものだった｣という台詞自体、本来は規則的と言って良いほど頻繁に口喧嘩をしていた人の口から出たものです。
そんな人が話し手としてIを使う場合はused toが続きます。

親御さんと仲が良い人が似たような事を言うとすれば｢昔は(今よりも頻繁に)両親と口喧嘩をすることもあった｣になります。
その場合はI wouldを使います。

英語は国語と数学の中間の様な教科で、誤解が生まれないように数学同様唯一の(ように見える)解答が存在しますが、本来は日本語と同じく言語なので発話された状況や話し手の心境を考える必要があります。

今回の場合used toとwouldで訳を分けてしまうと誤解が生まれるかもしれないと言うことから、どちらも｢かつてはよくVした｣と訳させ、規則不規則で違いを区別していますが、発言する人によってどちらを選ぶかが変わります。

参考書等は正しい知識を文章で教えようとするものなので日本中の高校生全員がなるべく誤解しないような文章作りがされていますが、そのせいで国語的要素が生徒任せになってしまいます。
かなりしんどいとは思いますが楽しく感じる要素でもあります。

結論として、話し手によってどちらを選ぶかが変わるということです。
質問者さんは親御さんと規則的に口喧嘩することが無いくらい仲が良いんだろうなと思いました。

そうですね〜。ニュアンスの領域ですね。
今はもうやめたんだ！って感じに伝えたい時はused to
めっちゃ懐かしんでる時はwould

じゃあこんな状況を想像してみてください。
「私の家では毎日夜8:00になったら口喧嘩をしてからじゃないと眠れない」
↑こんな状況なら規則的な習慣となるでしょう。一般的に言ってそんなことありませんよね。なのでここでは不規則な習慣とみなせるのではないでしょうか？