(D-α)^n x(t)=0
x(t)=y(t)e^αtとしてy(t)を求める。
(D-α)(y(t)e^αt)
=(Dy)e^αt+y(t)αe^αt-αy(t)e^αt
=(Dy)e^αt
(D-α)^2(y(t)e^αt)
=(D-α)(D-α)(y(t)e^αt)
=(D-α)(Dy)e^αt
=同様
=(D^2 y)e^αt
これを繰り返して
(D-α)^n y(t)e^αt
=(D^n y)e^αt
ゆえに初めの方程式は
(D^n y)e^αt=0
D^n y=0
これの解y(t)はn次多項式
y(t)=A_1 t^(n-1)+A_2 t^(n-2)+...+A_n
これで示された
すみません、書き方が悪かったです。(11cos2t-2sin2t)/125 +(tsint+3sint-tcost)/4です。
それも違うと思います。
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%2811%2F125+cos2t-2%2F125+sin2t%2Bt%2F4+sint%2B3%2F4+sint-t%2F4+cost%29%C2%B4%C2%B4-2%2811%2F125+cos2t-2%2F125+sin2t%2Bt%2F4+sint%2B3%2F4+sint-t%2F4+cost%29%C2%B4%2B%2811%2F125+cos2t-2%2F125+sin2t%2Bt%2F4+sint%2B3%2F4+sint-t%2F4+cost%29&lang=ja
(D-α)^n=cos2t+tsintの問題の解答が、x(t)=e^t(A+Bt+Ct^2)+ (11cos2t-2sin2t)/125 +(tsint+3sint-tcost)/4 になるのですが、一般解を求めて、特殊会を求めるやり方でやるのかと思いやってみたのですが、その特殊解が分からなくて....
答えから推測するに、正しい問題文は
(D-1)^3 x(t)=cos2t+tsint
ではないですか？
きちんと表記しないと答える側の負担になるので気を付けてください。他の質問でも問題文の不備があり答えようのないものがありました。
解答して頂いているのにも関わらず、問題のミスがあり申し訳ないです。正しく(D-1)^n x=cos2t+tsintです。ほんとにすみませんでした...気をつけます。
私も上の回答で合計で2箇所入力ミスをしているので人に言えたことではないですが。
以下
(D-1)^3 x(t)=cos2t+tsint
の解
x(t)=e^t(A+Bt+Ct^2)+ (11cos2t-2sin2t)/125 +(tsint+3sint-tcost)/4
を導く方法をいくつか挙げます。
1. 斉次解から特殊解を構成する
( https://youtu.be/dDGCZBJvSJY
を参考にするとよい。この方法を3次の場合に適用したものが以下のものである。)
(D-1)^3 x(t)=0
の解(斉次解)は上の回答の通り、
x1=e^t
x2=te^t
x3=t^2 e^t
もとの微分方程式
(D-1)^3 x(t)=cos2t+tsint
の解を1つ見つける(特殊解)
x=C1x1+C2x2+C3x3 ☆
と特殊解の形を仮定する。
さらに追加で
C1´x1+C2´x2+C3´x3=0 ①
C1´x1´+C2´x2´+C3´x3´=0 ②
の2式も仮定する。
☆を微分方程式に代入して①,②を利用して式を整理すると
C1´x1´´+C2´x2´´+C3´x3´´=cos2t+tsint ③
①②③から
W(C1´ C2´ C3´)^T=(0 0 cos2t+tsint)^T
ただしWはロンスキアン
(C1´ C2´ C3´)^T=W^-1 (0 0 cos2t+tsint)^T
(C1 C2 C3)^T=∫ W^-1 (0 0 cos2t+tsint)^T dt
とC1,C2,C3が求まり、特殊解が求まる。
これで原理的には解けるはずですが
∫ W^-1 (0 0 cos2t+tsint)^T dt
の計算が大変だろうと思われます。
リンクを張り間違えました。
正しくは
https://youtu.be/0jAF48ojPSk
です。
この方法は微分方程式の係数が定数でないときにも使える万能な方法ですが、計算が大変になるので、今回のような係数が定数の場合は他の方法を使った方がよいです。
え、すごい.....ご丁寧にありがとうございます🙇🏻♀️🙇🏻♀️🙇🏻♀️🙇🏻♀️
とってもわかりやすいです！！！細かく書いてくださったおかげで理解出来ました！！ほんとにありがとうございます(*' ')*, ,)✨ﾍﾟｺﾘ
4. 逆演算子を使う(本質的には3と同じ)
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/bibun/bibunhouteisiki/henkan-tex.cgi?target=/math/category/bibun/bibunhouteisiki/index.html
いずれの方針でもかなりheavyな問題だと思います。
以上です。
その特殊解あってますか？
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%2811cos2t-2%2F125+sin2t%2Btsint%2B3sint-t%2F4+cost%29%C2%B4%C2%B4-2%28cos2t-2%2F125+sin2t%2Btsint%2B3sint-t%2F4+cost%29%C2%B4%2B%2811cos2t-2%2F125+sin2t%2Btsint%2B3sint-t%2F4+cost%29&lang=ja