上村時間 15分 出された。 同 ェの整式 ア⑦) を 2オァ+1 で割ると 2z 祭り, メー 太郎さんと花子さんは問題について会話をしている。 太郎 : まず, 問題の内容を式で表す必要があるね。 の = (2++1 の(の2を ……⑦ Z@④ = てー-1) の⑦⑫二8 ……② と表されるね。 foの還 の《⑰+A②⑭) …⑥ と表されるね。 LE 求めをさい。 このとき, PG<) を ぷー1 で割ったときの余りを求めな アG) を <十1 で割ったときの商を の4) とすると また, (<々) をェー1 で割ったときの商を の(4④) とすると 代子 : 同じように, <④) をぷー1で割ったときの商を 9, 余りを () とすると とに当てはまる弐を 次の⑩-⑳のうちから一つ選べ。 ⑩ Ge_-es+z+1) ⑰ Ge-DG@2-ナ1) @ G+Dez+z+1) ⑥ (e+り (2ーテ1) 太郎 : 余りの Z) にっ ゝては, ん(?) は最大で 作Gのか5 AOD当遇 になるととはわかるけど、 太郎 : タキァ1 は実数の範囲で因数分解でき ないから, なか 花子 : 私は①の商 の,⑫ について考察してみるね 太郎 : それな5,⑧の余り Z() についで考察してみぁ 回 に当てはまる孝をそれそれ守えよ しイ 次の整式であることに も注意が必 なか難しそうだ。 nm 要だね。| このあとど う すればいいのかな。 "ぐづ 太郎さんと花子さんのクラスでは, 次の問題が宿 ii 。…、、 了 問題 1 で割ると8 余る。 M E eg

pF 人字さんの考えた方針と解答。 太郎さんの考ぇ えた方針と解答である。 診子さんの方針 の を+の式で表して①に代入する。 疹子さんの解谷】 @ょり 7①=LミoO①+ロロゴ 7①⑪=ニレラ] であるか5 Qi①=ヒテコ これより, のiQ②) をメー1 で割ったときの商を O,G) とすると 0 ニキー] と表きれる。 れれを①に代人して。 求める余りは [詞2キデメ ニコ である5 Eaulssみし ウー| に当てはまる数をそれぞれ答えよ。また, しキー]に当てはま る式を, 次の0⑩-⑨のうちから一つ選べ。 ⑳ @-D@⑯⑲+1 ⑩ @-196,G+2 @ @-DQG+4 ⑬ Ge-DoG)+8 余り ④) を工夫する。 とのとき, ダー1 は **オ>十1 を因数にもつので, しサ ]ことに注意する。 [ に当てはまる最も適当なものを, 次の0-②⑨のうちから一つ選べ。 ⑩ ア②) を ダダオァ上1 で割ったときの余りと (ヶ) を 2十x十1 で割ったときの余り は等しい ⑩ ②④ を 二々1で割ったときの余りと 0。(々*) を 宮寺1 で割ったときの余りは等しい @ @のG) をゼ+ャ1で宮ったときの余りと (G*) をやx+1 で割ったときの余りは等しい [太郎さんの解答】 (⑫②) は最大で| イ 次の整式であり, [| サ ]ことより, 定数。を用いて (=Z(02オ1)オシ > と表される。 すなわち, ③は の⑦=テ| アァ0⑦+2(0@2二*填1)二し シ ]x 衣20人0あるから oー[| ス | よって, 求める余りはトク |巡二[| ヶ |z二[| コ ]である。 し し3 に当てはまる数をそれぞれ答えよ。 公式解法集

20223 RU % 剰余の定理により, 余りは? -、 半 の(で)モーD 4G)和2 (人) 9 これを①に代入すると P9 =(@叶x+D(e-D 0)+9+5。 デー (キテ*二1) (*ー1) のT2(G2TxT 1 ー (<“十x十1) (>-1) O+222T4ん2 となるから, 求める余りは2x2+4x+2 でぁる。 次に, 太郎さんの方針と解答について考ぇる。 ⑨を変形すると アア⑨一RG9 = (ca-1)Gtr+1) 0G) すなわち, ア@⑦)一(x) ば 十x十1 で割り切れる。 5 これは, ア(x) を x?十x十1で割ったときの余りと (x) を "上x十1 で割っ たときの余りは等しい (⑩) ことを意味する。 <てで) ア() を *?十x十1 で割ったときの余りは 2z であるから, (y) を ダキx1 で割ったときの余りも 2x であるので, 定数2 を用いて (x) 三g(x2十x十1)十2x さ(ロ) と表される。すなわち, ③は ア() = (メー1) (z2二ァ十1) 0Q。(?二6(*"十x圭1)十2 となるから, 1 を代入して (1) = 0・30。(1)二3g十2 電本 ア(⑪)三8まり 8三0十8g十2 1723の 2 +ァT1) 0。(⑦二27十4z填2 より, 求める余りは よって, ア(%) = (ーーD(y 。 2 十4z十2 である。