単純に言えばほぼ同じ意味です。詳しく言えば pictureは写真の他に絵、絵画の意味も含みます。
Take a picture とtake picture となるときは写真の意味だけになります。
Photoはphotographの略なので常に写真の意味です。

picture は写真という意味の他にも、絵画、画像やイラストも含みます。
photo はphotography の短縮形
で写真という意味のみになります。

old picture 古い絵画、画像、写真のいずれか
old photo 古い写真

という意味になります。