ここまでくればあとは漸近線を出すだけです。
まず簡単なところから行きます。
初めにx≠1とわかりましたね。ということは、逆に言えばxは1でなければどこでもokです。0.9999999でも、1.000001でもokです。ということは、xは1に近づくことはできるけど、1だけは取れないということです。
漸近線は、「グラフはその線に近づくけど、その線の上の点は絶対に取れない」という線です。
x=1という線はそれを満たしているので、漸近線と言えます。

あ、今気づきましたが、さっきの-∞に近づけるやつは、y=x+1+1/(x-1)と変形した方の式で考えた方が楽でした。ごめんなさい> <
一応それで考えた場合も書いておきます。
この場合、足し算のひとつづつを別に考えます。
xはもちろん-∞に近づきます。
1はそのまま1です。
1/(x-1)は、分母がめちゃくちゃ大きくなるので、全体では0に近づきます。
よって、全部足してみると、、(-∞に近づく)+1+(0に近づく)=(-∞に近づく)となるので、-∞に近づくことがわかります。

また、xを負の方向から1に近づけるとき、xに0.9、0.99、0.999…と代入して動きを確かめてみます。とりあえず、0.999を代入してみましょう。
(0.999)^2/0.999-1 みたいな感じになります。
分子はおよそ1です。分子は-0.001です。
よって、分子分母に1000をかけて、-1000となります。これは、だんだん小さくなっていって、-∞に近づいています。
よって、1よりほんのちょっと小さいところは-∞に近づきます。

正の方向から1に近づける時も同様にして、∞に近づきます。

同様に、xがめちゃくちゃ大きくなると、今と同じ考え方で、∞に近づいていきます。(確かめてみてください。)

よって、分子は1ですから、全体では
1/-0.00001
みたいなイメージになります。(さっきから0の数が増えたり減ったりしてるのには意味はありません。すごい小さいってことだけわかってくれれば大丈夫です。)
わかりにくければ、分母が1になるように、分母と分子に100000をかけて、
-100000
とすればわかると思います。
小さくなっていますね。-∞に近づいています。
よって、lim[x→-∞] y=-∞です。
ということは、xを小さくしたらグラフは限りなく下がって行くということです。