今から○を出しますが、もしよくわからなかったら、あとで言う方法でやってください。
でもできれば今から言う方法をマスターして欲しいです！

ここまでで、漸近線は「y=x+○」の形になるとわかります。次に○を求めます。

傾きy'=1-1/(x-1)^2 について、
xがめちゃくちゃ大きい時を考えましょう。
1は、そのまま1です。
-1/(x-1)^2は、分子がめちゃくちゃ大きくなるので、全体では0に近づきます。
よって、足して、1になります。つまり、グラフの傾きは1に近づきます。
よって、漸近線の傾きは1です。

ここで、まずは漸近線の傾きを調べます。
ここも想像して欲しいのですが、グラフが漸近線に近づくということは、グラフの傾きも漸近線の傾きに近づくということです。そして、近づくのはxがめちゃくちゃ大きい時か、めちゃくちゃ小さい時です。(真ん中らへん(今回だとx=0とか2)だと、グラフが折れ曲がってるので、傾きが直線に近づくことはないです。)
よって、逆に考えて、xがめちゃくちゃ大きい(または小さい)ときのグラフの傾きを調べれば、漸近線の傾きも出てきます。

次に、もう一つの漸近線を見つけます。
分数関数は、反比例のグラフを少しいじったものなので、普通は漸近線は2本あります。
分数関数や反比例のグラフを想像してみると、漸近線の少なくとも1本はy軸に平行ではないです。2つとも平行だったらグラフかけないですよね。(例えばy=1/xの漸近線はx=0とy=0です。x=0はy軸に平行ですが、y=0は違います。)

y軸に平行でないということは、y=ax+bの形で描けるということです。つまり、傾きなどを調べれば式が出てきます。