ページ1:

I
整数係数の3次式 f(x)=x+ax²+bx+c を考える。 方程式(x)=0が重解
すべての解の絶対値が1となるとき. 下の問いに答えよ。
α=12
dm=cosnAtising=1
(1) 方程式(x)=0は少なくとも1つの虚数解をもつことを示せ。
これが成り立つのは、nが2の整数倍となると
(2) 方程式(x)=0の虚数解αに対して, α=1となる最小の自然数のとりう
る値をすべて求めよ。
[1]8=1のとき、
no = ± n
o2の整数倍となるような
(1) すべての解の絶対値が1であることから、
その解は1-1のみ
最小の自然数には、n=6
[2]=埒
のとき
重をもたないとすると絶対値が1となるのは、
no = + n
虚数部のみ、
n = 4
よって、少なくとも1つの虚数解をもつ
[3]=上
のとき
(2) X=1となる最小の自然数の
n = ± 3 pli
"
|α1= | 2y. α = cos + i sind (-R<D<0.0 <0*)
〆の共役な複数も解である。
n = 3
[1]~[3] 2
Q=cos-isinθ
n=3.4.6
4
残り1つの解を目とすると、解と係数の関係より
「〆+α+p=-a…①
datap+pa-b…②
Läß
-C
D = "
2050+p=-a
より
P = -c (1α1=1)
よって、2005日=c-a
c-aが整数であることから、
2wsQ=-2,-1,0,1,2
Los = -1,0
x x x

ページ2:

(2)4点が同一円周上にあり、四角形をつくることから、
840. ±1, -1±√3
(1) 4点のうち少なくとも2点が一致するような』の値をすべて求めよ。
II 複素数平面上の4点A(1) B(z), C (2) D (z)に対して、下の問いに答えよ。
(2) 4点が同一円周上にある四角形ABCD をなすようなェを複素数平面上に図示せ
よ。 ただし、四角形ABCDの頂点の順序は時計回りと反時計回りの両方の場合を
考える。
D(83)
(1)
(i) 4点 すべて一致するのは。 Z=laとも、
A(
C(22)
(77)
C (8³)
BO
B(2)
D(2)
Aw
(1)3点が一致する場合。
1Zとなれば、4点すべて一致してしまうので、
(i))のどろうにおいても、
<ABD=∠ACDが成り立てばよい
Z=Z=Z
Z=r(vosotisinθ)とすると、
arg (2-1) - arg (31-37) = 0
Z² F² (cos 20+ sin 20)
マード(Cos3Q+isin30)
Z-1
Z2-23
r = 1, 200+ 2x, 30-0+2mr
z²-1
0 = 247
J = mr
いずれの日にしても、z=1となるので、4点一致する。
Z=0のとき、3点一致する。
(iii) 07=z² 922
Z2-Z=0
Z(Z-1)=0
z=0.
ミニロとなり稙
②Z=2のとき、
Z2(Z-1)=0
Zニロより
Z=0となり不
arg
2 (2+1)
82
2+1
= arg (8-28-41)
= arg (z+2/+2)
= 0
Z+2/+2が正の実数であればよい
z=xc+yìとすると.
z+/2+2=xtyit.
+2
=(x+xxjp+2)+(ーズ
=
③z = z ² αrz.
Z=0のとき
Z(8-1)=0
z=0,-1.
④ミュのとき、
Z+z+1=0
Z=
2
z=-1987
8号とるので袖となり、適する
Z=-2-1
=
2
+
2
仕
2
よって、千点のうち少なくとも2点が一枚
Z=0.±1.
するのは
x²+y2
大
x+
y
-
y
x²+ y²
+270
= 0
20
y = o, x²+ y²= |