数学 〜等差数列（青チャートp.414〜p.426）〜
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高校全学年
青チャートの解説です。
今回は等差数列です。公式まとめが欲しい場合はコメント欄でお願いします。翌日までに対応します!
著作権上の問題から問題文は掲載していません（以後の数学の問題も同じです）。
気持ち的には（でも解説見たらなんとなく元の問題わかるよなー）って感じはします。
このノートは更新しません。(最終更新日：2026/2/24)
※1枚目と2枚目はタブレットでやりましたが、数学は紙のほうがやりやすそうなので3枚目以降は紙です。
そうすると１つお詫びがあります。
暫くは裏紙を使用することになります🙂↕️
ノートテキスト
ページ1:
青チャート数B 例題1練習1 例題1 △著作権上問題は掲載しません!! (1)分子に着目すると、 2, 3, 4, 5, ... したがって第1項は n+1と推測される。 また、分母は3,9,27, 81,…より、第1項は3 と推測される。 したがって、与えられた数列 の一般項は 30と推 nt 測される。このとき第6項は = 729 解答に「推測される」とは 書かれていないが、確証は もてない。たとえば 数列が2,3,4,5, とき第n項はntiとしたが、 (n+1)+ (n-1) (n-2) (n-3) (1-4) であっても第4項までは一致 する。 (2)1,3,5,7の数列の 第n項は20-1であると推 測される。また、1,4,9,16, の数列の第n項はげである と推測される。 さらに、第1項の符号は正 第2項は負第3項は正の ように1項おきに符号が 変化している。 したがって、第n項は、 (-1)+1 (2n-1)-n² と推測される。
ページ2:
練習1 (1)与えられた数列の第n項は(3)」の前の数列は、 12n-1であると推測される。 したがって、第6項は (2·6-1)²=121 (2)3=予として考えると、 分母は1,8,27,64,…より、 。 n3であると推測される また、分子は3,4,5,6, より、n+2であると推測される。 さらに、1項ごとに符号が変化 していると考えられるから、この 数列の第n項は (-1)" n+2 n³ であると推測される。この とき第7項は (-1)". 7+2 9 =- 73 343 2,4,6,8,...より、2nであ ると推測される。 また、「」の後の数列は 2,5,10,17,より、1+1 したがって、この数列の第 項は、 2n(n+1) と推測される。
ページ3:
例題2
(1)数列{a}は初項100,公差-3の
等差数列であるから、一般項は
An = 100 + (n-1). (-3)
=-3n+103
また、α35=-3.35+103
= -2
Qub
RAT BUT
delers
また、anoを解くと、
(ア)より、
95/16756
2n-48 >0
n>24
これを満たす最小のれば
n=25
第25項
(2) am=a+(n-dとする。
ただしaは初項dは公差である。
enny
欧文
a59=d+58d=70
holmos
す
abb=a+65d=84
d=2,α=-46
したがって、一般項はメー
an=-46+(n-1) ・20
=2n-48(ア)
an=118とすると、
Jngre
文
作
Birger
Unsupala
X
Jusɔnos
20-48=118
⇔n=83
XIXTY
・・・(イ)
(税
PATE
blow
Unsultle
…
ページ4:
練習2
131m
(1)数列{a}は、初項13,公差 -5
の等差数列である。
916nimisin
中文
また、ansoとすると、
*.***2n+59<0
したがって一般項は
CTOST...
59
am=13+(n-1)(-5)
n>2
=29.5
quito
th
Rt 0
3-50+18 AEROMOD
したがって、これを満たす
最小のればη=30
また、第15項はまぐ栄濯
avanj
015=-5.15+18
Jierz
(2)数列をan=a+(n-1)dとする。
ただし、aは初項dは公差で
ある。
a53 = a +52d=-47
am=a+76d=-95
d=-2,a=57
したがって、一般項は
an=57+(n-1)・(-2)
=-2n+59... (7)
ani-111とすると、
-111=-2n+59
n = 85... (1)
よって、第30項
silme
ツーラームー
中
散させ本のnagihww
そ
せ
のメー
ページ5:
練習3
例題3
bOLOGIAR
(1) anti-an
(1) anti-an=1-3(n+1)+7}-(-3n+7)
=-3(一定)
したがって、Jamは等差数列である。//
a1=-3.1+7=4より、
nimb
上年
=[P{(n+)+2}]-p(n+2)
=P(一定)
したがって、(a)は等差数列である。1
-α,=p(1+2)=3pより、
couenjo
初項4 公差 -3.
A
#
初3P, 公差 P
Vhong
muibam
()
(2) Cn+1 = 3(n+1) 6
(2) Cn+1 = a sin+1)
=p{5(n+1)+2}
bGLEDECLING
る
また、Ch=dsn
={-3-3(n+1)}+7
また、Ch=aom
=33n+7
Cnti-Cn=-9(一定)
atidanc
tomuri
御
CLGSE
したがって、{n}は等差数列である。!!
C1-2より、
N
FP (5n+2)
LF
169200
avlovni
Cnti-Ch=5p(一定) 画
したがって、{cm}は等差数列である。
201
C1=70より、
X-5
199
L6WALK
初項-2 公差 -
初項7P,公差5p
文
ANTICTON
16269LCU
abit
blotni
>
CHLEG
EARL PENED FIT
600392
266K
図
BRETOT
中文 内側
Isabi
noitnul
XU AS
心、
bL62nWG
ロードット 1000~7000レソクマ201
976)
ページ6:
例題4 等差数列をなす3数をa-dia atd とする。 和が27.積が693であるから、 練習4 等差数列をなす3数をa-d,a, ardとする。 和が-15,積が120であるから、 [(a-d)+a+(a+d)=-15 (a-d)ala+d)=120 [(a-d)+a+la+)=27 (a-d)a (a+d)=693 3a=27 S3a=- = -15 la-ad=120 ①より a=-5 la-ad=693 ② これを②に代入して、 ① より a=9 -125+5d=120 これを②に代入して、 ==49 729-9d=693 d=7 gd=36 次に上下に上にこのとき求める3数は d=±2 の VL12-5,-12または-12, -5,2 このとき求める3数は したがって 7,9,11 大 に 7,9,11 または 11,9,7 したがって2,-5、-12 CUTE a
ページ7:
例題5
20'15' 12' 10
が ・等差数列
である。この数列{2}とする。
初項 2/10公差 1/32101/10
初項/公差店
60
の等差数列であるから、
1 = 10 + (n-1) - 16/0
am
=
20
n+2
60
:an=
60
n+2
練習5
が
等差数列である。この数
列は初項 /公差一言で
あるから、
11/12 - 11/√ + (n-1). (-³ ³)
am
-2n+5
6
:. An =
-20+5
(2) 1
(2)1/21/1...が等差数
'an'
列である。この数列の初項は
ai
・ga
数列である。
dmが等差
an=a+(n-id とおく。
ただし、dは公差である。
a.
公差は0であるから
a² = = = =² + (n-1). a- b
an
a
ab
6+ (n-1) (a-b)
ab
(a-b)n-a+26
ab
したがって、
an=
ab
(a-b)n-a+2b
であるから、
a
ga
1/+15-d=
=42=-99
ga
←d = -2/a
d=
したがって、
ga
=
an
ゆえに an=
=
ga
+(n-1)-97a)
-2n+11
ga
ga
20+11
ページ8:
例題6
(1)与えられた 等差数列は初項1
公差3であるから、一般項an
は、
an=1+(n-1)・3
=3n-2
練習
(1)与えられた等差数列の
一般項は、
an = 2n-1
末項は99であるから、
99=2n-1
←n=50
したがって99は第5D項である。
また、末項は97であるから、
S=
97=30-2
(n=33
したがって、97は第33項である。
S=1/2-33(1+97)=49-33
=1617
2.50(1+99)=2500
(2) 3 = 3 · 101 { 2.5+ (101-1). (-))}
=1/2101(-40)
eu
BER—EMEL®ONTU=-2020 x=
(2)S=1/100{2.200+(100-1)-(-5)
=50(400-495)
=-4750
(3)初項a, 公差d,一般項anとする。
saio=a+gd=1
lab=a+15d=5
2
ted=3a15)
(3) 初項α、公差d.一般項amとする。じるでし
いい第の項までの和をSとすると、
Jag=a+7d=37
1a24=a+23d=17
d=5,d=2
第n項までの和をSとすると50
S50=1250{2.2+(50-1):5} = 6225
So -30 (2·1-5)+ (30-1)-(3)}
=140
Sm = 1 · 14 ₤2-(-5) + (14-1)-(+)}
114
45. 1-828
Kal onbe
S = S'so - Sine = 448
S=S30-S4=
3
S19 = 1 - 19 (2·2 + (19-1). 5} = 893, reass
2+
S=S50-S17=5332
ページ9:
例題7 (1)ろで割って1余る数は、一般項をam として、an=3n+1で表される。 100から200までの整数であるから、 練習7 (1)5で割って3余る数は、一般項を anとして、an=5n+3で表される。 10から99までの整数であるから、 33≦n≦66である。和をSとすると、 2n≦19である。和をSとすると、 S=1/2.34(100+199)=5083 (2)2の倍数、3の倍数、6の倍数は、 それぞれ一般項を bo, Cmdnとして、 bm=2n.co=3md=6nで表される。 100から200までの整数であるから、 bnは50≦n≦100,Chは34≦n≦66 dnは17≦ns33である。 それぞれの和をT,,T,Tとすると、 T=1/251(100+200)=7650 T2=1/133(102+198)=4950 Ts=12.17(102+198)=2550 求める和をTとすると、 T= T₁ + T₂-T3 =7650+4950-2550 =10050 S=1/18(13+98)=999 (2) 奇数は、一般項をbmとして、 106m=2n+1で表される。10から99 までの整数であるから、5≦n≦49 和をTとすると、 T=12-45(11+99)=2475 3の倍数は、一般項をCnとして、 同様にすると、Cmころ,433 和をTとすると、 TH=/1/30(12+99)=1665 また、3の倍数のうち奇数であるもの の一般項をdrとして、同様にすると、 dn=6n-3.3≦n=17 和をTsとすると、 T3=1/2.15(15+99)=855 求める和をTとすると、 === T₁ + T2 - T₂ © 3 =2475+1665-855 =3285
ページ10:
例題8 練習 8 初55、公差-6の等差数列の 初項 200,公差3の等差数列の 一般項は、 一般項はam=55+(カーリー(-6) ay=-200+(n-1)・3 ニー -6n+61 =30-203 an<0とすると、-661-0 anoとすると、 30-20370 b <n> =10.1··· これを満たす最小のはわい したがって、第1項までの和が 最大となる。 aio=-60+611 12/10(55+1)=280 2009 <>n> 203 = 67.6 これを満たす最小のりはn=68 したがって、第67項までの和が 最小となる。 ab=3・67-203=-2 121267(-200-2) -6767 22) S F ツキソ 森の小せてせでする ソフォ
ページ11:
例題9(今後Nは自然数、Zは整数)
qENとして、mnを満たす
P
書を求める。
求める和をSとすると、
S = S. - S₁₂
両辺にPをかけて、
pn-pm-1
(m+n)-
n-m-1
2
・(mon)
2
pm<q<pa
m+n {(pn-pm-1)-(n-m-)}
2
したがって、
2
mtn {hip-1)-m(p-1)}
q = pm +1, pm +2,..., pn-173.
12/2(m+n)(n-m)LP-1
pm+1 pm+2.
i-ud
dd
d
この和をSとすると、
(pn-1)-(pm+1)+1/pm+1 pn-
S₁ =
2
P
P
pn-pm-1
2
(m+n) HONO
に
このうち2/2となるのは、
q
=m+1, m+2, --, n-1
2
この和をSとすると、番最
S₁ = (n-1)-(m+)-1 (m+i+n-1)
2
n-m
2
(utus).
(
ページ12:
練習 9 q YENとして、OK <pを満たす を求める。 Oxqspであるから、 q = 1, 2, 3, p²-) q 2 3 p3-1 pppp これらの和をふとすると、 + =1/2P(P-1) 次にが既約分数でないものは、 & P2 (p=.)P これらの和をS」とすると、 (p-1)P) + P したがって、求める総和らは、 S = 5 - S. = = = P(b²-1) — — — P (P²-1) = P(p³²-1-p²+1) =/12/pip-1)
ページ13:
例題10
ae=bmとすると、
31+1=5m+3
⇔3l-5m=2
この不定方程式の解の
その一つは(
したがって、
3l-5m=2…①
3(-1-5-6-1)=2…②
3(+1)-5(+1)=0
31(+1)=5(m+1
3と5は互いに素であるから、
1+1=5k, m+1=3k
=l=5k-1,m=3-1(kN)
{n}の第項は「an」の第(5)
項である。
練習10
ae=bmとすると、
3ℓ-1=4m+1
1731-4m=2
この不定方程式の解の1つは(21)
したがって、
3l-4m=2
3.2-4.1=2+
0-0
31l-2)-4(m-リニ
3と4は互いに素であるから、
l-2=4km-1=3k
⇒l=4fa+2,m=3k+)(20))
数列の第項は{a}の
第(4h+2-4)項すなわち第(48-2)項
である。
Cn=alam-2=314-2)-1
=120-7
Cm=amen=315-1+1
=15h-2
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