ページ3:

No.
03
間P53
25203(2)2曲線y=x+x,y=ペースで囲まれた図形のうち、y軸の右側 スーパーX:0
の部分
2曲線の共有点のx座標はx=-1.0.2
軸の右側の部分は0≦x≦2
このときナスオーズ
+5= √³ {(x²+x)-(x²-17 ³dx
==
= S² (= x² + x² + 2x)dx
=トーイズ+1/+0
24+12+2
=-4+3+4
-8
3
(3)(2)の図形のうち、y軸の左側の部分
手の左側の部分
このときオースミキル
50
S = √ ° { A² = x) = (x² + x) } dx
= S₁ (x²-x²-2x)dx
=〔オズーズーズ]
0
=本1-1-1}-1/310-(13} {0-1}
11
喜
52
72
+1
-3-4+12
12
2
ズーズー2x=0
x(x2-x-2):0
x(x-2)(x+1):0
x=0,2,-1

ページ4:

教23 例題22曲線y=sinx, y=cosx(0≦x≦)と2直線x=0,九二九
で囲まれた図形の面積Sを求めよ.
D<x<砦のとき(OSX7sinx
〈入くπのとき Sinx>COSX
S=(cosx-sinx)dx
sinxcosoda
=Sinz +cosx + cosxsinx
=2.2
T
ZT
yy=sinx
YCOSA
―
教 P123 2 次の図形の面積を求めよ
(1)2曲線y=x,y=-x+2(0≦x≦2)と2直線x=0、x=2
で囲まれた図形
2曲線の始点の座標はズニープ+2
2x2=2
スニナ
1
2
OSxSIのときープ+2≧x
1≦x≦2のときフープ+2
S = { '( − x² + 2 = x³) dx² + S, ³{ x² = (-x²+z)}d¥
=S' (-2x²+2)dx +f,²(2x²-2)dx
A
= -2S, (x²-1)dx + 25,² (x² - 17 d
L
2
--2 [ √ ²²x² + 2 [√²x²³-7],
-
=-2(1/3-1)+2{1/(2-1)-(2-1)}
+2(1/2-1)
4
=4
8
+3

ページ5:

23周2 (2)曲線
と直線:スーレ、スミレ、スニチで囲まれた図形
曲線と直線等ンスレートとの交点は
xx-2=0
(x-2)(x+1)=0
x = -1,2
2
|≤x≤208 = = 2x-1
75x54085 x-172/
S = √² { z = (x − 1 ) } dx + f ( x −1 — — Ddx
• S,² ( x − x + 1 ) dx² + [² αα-1-3dx
2 4
log 1=0
[2_log[^\ ___X²+a]² + [±x²-^-zloglα11
={1200g2-122+2)-(28091-1/+1}+{(1/2/4-4-280g4)-(21-2-2002)
・2002-2+2-1/2+4-20mg2+20mg2
= 4 log 2 + 1/2-4log 2
7
2
Basic
P53 204 次の図形の面積を求めよ
(1)曲線y=(x-1)(2)と大軸で囲まれた図形
曲線と軸との交点の座標はx=0.1.2
S = {{{x(x-1)(x-2)}x_{}{x(x-x-2)}{dx
* So{(x³-3x²+22)dx = {}² (x³-3x²+720)dx
・[スープ+]-[スープ+]
=(-ナナリー{(2-2+2)-(+1)}
=
1)
本-(4-8+4)年}
//

ページ6:

20
No. 06
y=277-5
間P53204 (2) 2曲線y=ez,y=exと2直線スニー1,=2で囲まれた図形
Check
-1≤x≤onez exzex
0≦x≦2のとき exzex
S = [°₁ (e^ ed² +f² (e² - e³ ³ dx
2
[ee] + [ee]²
e-e)-(-e-e)+(e²+ €²²)-(C°+C°)
=-1-1+e+e++e²-e²-1-1
= e² + e + ½ + ½² - 4
用P54 209 次の曲線および直線で囲まれた図形の面積を求めよ、
(1) 2曲線y=27-x-5,9=-x+2x+1
2曲線の交点の座標はクペース-5=ープ+2x+1
32-32-6:0
プース-2=0
(x-2)(x+1)=0
7=-1.2-.
-1≦x≦2のとき―+2x+1=2ペーX-5
S = [ { (-x² + 2x+1)-(2x²-7-573dx
= √² (-3x² + 3x+6)dx
=-35 (プーメー2)dn
=-3 [ √±√x²-11²-27]-1
= =
2X
5
-31312-1-133-112-(-13-2{2-1-1)}]
=-3(1-1/2-6)
=-3·(-2)
"
27.
2
2
y=ex
D
2

ページ7:

Date
No.
07
y = —
2
#54209 (2) 曲線y=と直線y=本、x=1,x=34.
曲線と直線の交点のx座標は
x =
x=4
x = ±2
1≦x≦2のとき文2本
2≦x≦のとき≧/
S = √,² ( — — — — — × ) d x + S³² ( 4x - —½)dx
= [ log1x1 − {x°],² + [zx² -logizi]}
-
8
= Cloy 2 - ₤ ) - (log 1 - ₤ ) + ( — — hog 3) = 18 - log2)
= log2 - # + 5 + f log 3 - f + log2
2
= 2log 2 - log 3 + 1/83
= 2 log 2 - log 3 + 4

ページ8:

301
12 曲線の長さ
曲線の長さ
曲線y=f(x) (a≦x≦b)の長さは
b = Sa√π + { f 'co ³ ³ d x = fa√ 1 + (y17 d
教125例題3次の曲線の長さlを求めよ.
y=
ex +e-x
(-157517
2
y' -
ex-ex
だから
Z
| + (y'}² = 1 + = (@² -2+0>2)
= (e²² +2 + e²²x²)
=
=
+
= Sole²+e=)dx
= [ex_e*]!
=e²-e₁
-
====
y
No.
08
2

ページ9:

93 カテナリー
$1926 PBR 3
カテナリー y=
y' = 2e² = 2e-x
4
ezx-ex
2
-2x
4
No.
09
(-1≦)の長さを求めよf10)=ピナピ
4
1+1
1 + ( e²x² - e-zzzz
| + (y')² = 1 +
t
= 1 + eAx-ze² e-zx te4x
4x
-
4
-4x
4+2+042
10
1
x
2
N
4
1e2+2+e-42)
4x
= $(e²² +e-2172
したがって求めるカテナリーの長さlは
b = S₁ √1+ (9)³ chc
=
lete dic
=
=
-z" (e² + ex
= S'" (e²x² + e-²²)dx
"Be²" teg
=
///////
e
-2
0
=
Sflax+b)dxc
= 1 Flax+b)+(1/1
Se²x dx
fa)=e²+e-^
(-1)-(-2x+2x
= f(x)
022-2215
偶関数

ページ10:

Date
No.
10
Basic
P53 205 次の曲線の長さを求めよ
y = e²±²² + e¨³ (-1 ≤ x ≤1)
y = ½e²²-e²²²
x
1 + (9)² = 1 + { |·le²² - e² ² )}²
= 1 + x/ ( e ² - 2 + e²² )
= (e² + z + e²²)
4
12
freez
4
よって求める曲線の長さlは
=
=
=['d He² + e³)² dre
こ
= S₁ = ( e² ² + e³ ³ ) d x
+
x
== S' ‹e ³² + e²³½³) dx²
= [2e * -2e-4]'
= 2 e³½³ - ze˜³½³
=2√e
2
2
↓
ト
1
f103-e+e
=2
faxete
flere²
=√(2)
FA

ページ11:

0
No.
11
1264 半径1の円弧y=(-1/2≦x≦1/2)の長さを求めるリニアーズ
y=√r²-2² k-till
u=x,y=とすると
y' = dy dy du
dx
=
du dx
M=1/2uz(-2x)
y'
大
Ju
x
TP-X
となるので
LIN
x
y²= p²-x²
x²+92 52
1+(472
=
1+(-)
X
+
P-X
rz
求める円弧の長さlは
l = f = √1+ (91) dic
r²-x²
携帯
=2r
=2r
r
dre
dhe
So dr x dx
7L
[ Sin+ 1/1 1/3=
r
0
=2r (sint 1 - sino)
=2r ( 1 - 0 )
=
- fxr
0)
dx
== Sin + 1 +C
| Y= Sinλ =>
sing = x
y=sin ==>
sing = = =
y = π
Sing=0.
7-0

ページ12:

Basic
P53 206 次の曲線の長さを求めよ.
(1) y = f (x + 1) = ²² ( - 1 ≤ x ≤4)
dy = dy
4x4, 734² ease go do ju je pr
+
2
y' = ±²² 3 4 ²² - 1
32
1/2+
++()=1+1/22)
=1+本(+1)
=/(+)
よって求める曲線の長さlは
~l = S = √1) + (1)² dx
= S² √ = (x + 5 ) dx
+1 = √x + 5 di
・[/12/3(+5)24
= 1/3 (9÷-43)
= {(3²)² - (2)² }
=/(27-8)
g
da

ページ13:

No.
13
√3x³
P53206 (2)y + (1≦x≦2)
y=1/3x²
-
4t
+
47
1+(g)2=1+(x
1
1 + (g)² = 1 + (x² - 1/12
4x²
2
=1+1/+16x
=x+1/+1
2
1674
(+)
したがって求める曲線の長さは
l=S² √] + (5) dx
= Sid√(x² + = = = ² dx
=
4x²
-S,² (x² + 1 ½/=) dx
[
+ } x² - 4 x ] ²
=(-1)-(3-4)
7
3
7
3.
+
1/+
56+3
24
59
24
8
8
2
曲の木(火)=(グ
=/18-1)-/12/21)
1/1(金)
7
+
3
8
=
5643
24
59
24
x
-2t1=-1
Sdx
== Sx²dx
ニーズ+c
-2+c
--
え

ページ14:

Check
問54 210 次の曲線の長さを求めよ
(1)1=(x-1)2 (1≦x≦6)
y = 33³ (1-17 ½
1+(4=1+{/2/2(1-1)}
3
=1+
9
(x-1)
4
4+92-9
4
4
1 (9x-5)
No.
14
よって求める曲線の長さlは
l=S,³ √1+ (y²)² dx
S95dy=S(95)
•S² + 19x= da
=
2
2
27
(9x-5)2]
6
3
2
(97-5)/2/+
27
6
54
=
27
2/7 { (9.6-5) (9-1-5)3
・(493-43)
=
27
・方(ゲーズ)
27
(7-2)(49+14+4)
49
18
67
27
..5.67
27
335
27
100

ページ15:

P54210
No.
15
(2) f = log (x + √x²=-1)
y' =
1+(スー)
(x+1)
1+
x
(2≦x≦)
-(√π²=1)' = {(x²-1) = }'
1/12
x+ズート
「オート+九
←分を分子を入+で割る
x+1
1
イート
| + (y')² = | +
=
け
イート
1
x²
x²-1
よって求める曲線の長さはl=S271() dひんより
l-Stx dx
x²-1
= √7 x dx
ここでプにとおくと2xdx=dtxdx=1/2dt
848
=
212-77
+3→48
S = dx
= ft² dx
=1/12t=48
=[]
148-13
=413-1
3/13
= 2 + = + c

ページ16:

① 立体の体積
Date
No.
16
教P127
立体の体積
ス軸上の点を通り軸に垂直な平面による切り口の
面積がS(ス)である立体の平面x=a, x=b(a<b)の
間の部分の体積Vは
V=SS(x)dxe
例題4 底面が1辺の長さaの正方形で、高さがんの正四角錐の
体積Vを求めよ
正四角錐を図のようにおく。点x10くてくh)で
丸軸に垂直で切ったときの切り口は1辺が参入の
正方形で面積は(x)である。
h
ch a²
; V = for f
=
JD
02
2
·x² dx
[]
AF² [ = x² ] A
h
02
h² 3 h²
▼
a
0
ス
x

ページ17:

No. 17
P128 5 半径との円柱がある。この円柱を底面の直径ABを通り
底面との角をなす平面で切るとき、底面と平面の間の
部分の体積Vを求めよ.
ス
A
Ox x
B
この立体を点x-r<xsr)で入軸に垂直な平面で切った
ときの切り口は、直角二等辺三角形であるから、その面積を
切り口
$とするとS(オ)=1/2(オーブ)
=1/2(r-x)
よって求める体積Vは
V = √r Sandr
= fr = = (r² = x²) dx
2
= √o" (r² = x)dx
=[rx-1x³]h
=r3-1/r
+3
-r
0
r
ポーズ
ス

ページ18:

Basic
周P53 207 軸上の点(0<x<2)においてX軸に垂直な平面で切ったときの
切り口が、たての長さて、横の長さの長方形となる立体の体積
を求めよ.
切り口の面積はS(オ)=x
よって求める立体の体積Vは
V=S2S() de
11
〃
=S²xxx dx
-2/[x]
= 7·2 =
82
5
45
Check
P54 211 半径1の円柱がこの円柱を、底面の直径ABを通り底面と
号の角をなす平面で切るとき、底面と平面の部分の体積Vを求めよ
23
B
a
0
底面
Y
oxxr
01
A
-r
hh
オアシズ
h
ポーズ
== tan 1/
h = √13 · 1√1²x²
TO
F1
→次のページへ
間P5-

ページ19:

Date
20
54211
の続き
No. 19
この立体を点(-r<x<r)で入軸に垂直な平面で切った
ときの切り口は底辺コースは13(x)の三角形
であるから、その面積をSとすると
-5(x) = 4√r²-x² - √3(P-1)
塩(r-x)
よって求める体積Vは
V = √ √ Scoche
=
- for Br² = x²)dx
-2 for B³ (r² = x²) dx
02
= √3 for (r² = x²)dx
13 [rex-x
=
-
=13/3/13
23
23³
回転体の体積
曲線y=f(x)と入軸および2直線ス=ax=b(a<b)で
囲まれた図形をx軸のまわりに回転してできる回転体の
cb
体積Vは
V = x So { fix}* dx = x So² & doc
y x

ページ20:

No.
20
例題5 半径rの球の体積Vは次の公式で求められることを証明せよ、
に参
平面上で、原点を中心とする半径の円の方程式は
x²+12=52
yについて解くと
y = I√√√√²-x²
この円の上半分アープを
軸で囲まれた図形を入軸のまわり
上回転すると半径の球が紛れる。
:. V = xS" (P= x²) dx
-r
Y = √r² = x²
ス
=
2匹
D
教P129 問6 次の図形をス軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ
(1) 曲線y=1/2xと大軸および直線x=2で囲まれた図形
V = π f² ( ≤ x² ) ³dx
= πL
12
4
-x4dx
4.
・本音で
85
-πL

ページ21:

SS
Date
No.
21
P129
1226 (2)曲線y=sinx (0≦x≦π)と大軸に囲まれた図形2倍の公式より
-V = F fr² (sin x)² dv
=π Sisinxdy
16
= πΣ for 1= cas2x dx
元(1-COS2x)dxy
=1/2π[x-1/2/sin2x
=1/2/{(x-2/sin2)-(0-2/2sino)}
2
2
π
(3)直線y= fxと大軸および直線入れて囲まれた図形
V = πL So²
(x)d
TL SP R R = x² do t
= π
・
ch
The Jo
Tre
h²
h²
h²
x7 h
h
(rhは正の定数)
y=xx
料
cos2d=1-2siredより
sind
cos2d
2
=

ページ22:

問53 208 次の図形を入軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ
(1)曲線y=虎、入軸および2直線x=レ=5で囲まれた図形
95
V = π S" ( F x ) d x
xdx
=π [logiα1]"}
=πh (log 5 - log 17
a log 5,
1
5
(2) 曲線y=-1,大軸および直線入=4で囲まれた図形
・[ペース
-
- {} (4²-1)-(4-1)}
6321
= πL (63² - 3)
=18π
4
x
check
P54 212 次の図形をx軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ.
(1) 曲線y=COS3(0≦x≦/2/2)と入軸,9軸で囲まれた図形
1 V = TL | ³ (Cos³ x ³ dx
π fo² cos xdx
3
二(吾・・・)
=
32
·2/2
Th
M=2のとき
sindr
JO
= 1³ cas" phy
-n-n-3
n
n-2
3.1.1
(いか偶数のとき)
n-1.n-3..
11-2
4.
<h #奇数のとき)

ページ23:

No.
(2)曲線y=√x+1,x軸、Y軸および直線x=1で囲まれた図形
· V = πLS " ( √ x² + 1 ) d x
= πL
So (x² + 1)dx
(オ
π[+]
=(1/32+1)
g
0
1
青
間4 213 次の問いに答えよ。
(1)曲線
と大軸および直線x=1で囲まれた図形をx軸のまわり
に回転してできる回転体の体積を求めよ
V = RS (√x)² dx
=
TL
IS xdx
=π[1/2]
=π(1/2-0)
TL
2
(2) 2曲線y=r,y=xで囲まれた図形をx軸のまわりに回転して
できる回転体の体積を求めよ.
軸
求める回転体の体積は、y
および直線x=1で囲まれた図形を入軸のまわりに
回転してできる回転体から、直線y=xと入軸および
直線ス=1で囲まれた図形を入軸のまわりに回転して
できる回転体を除いた部分の体積となるので
V = πS" ( √x ) d x - π f ' x ² dx
-π Sox dx - πff x² dr
=
ZIZ - T
2
一番
23

ページ24:

練習問題 1.A
P1301. 次の図形の面積を求めよ。
(1)2つの放物線y=x-4x+3,1シーズ+3で囲まれた図形
2曲線の交点のX座標は水-Ax+3=-x2+3
2-4x=0
x(x-2):0
x=0,2
O≦x≦2のとき―ズ+3≧x4x+3なので
#5 S-S³ { (+1+3)-(x²-4x+3)}dx
f(x+Andy
• [=²² ²x² + 2x²]²
24
8
1/18 7
(2) 曲線y=1と直線y=3人で囲まれた図形
曲線と直線の交点のx座標は1/2=3人
23-9x=0
No.
0
24
3.
g-x-4x+4)3-4
・1オー2ー1
y=x²-4733
y
2
L
大(+3)(x-3)=0
x=0,-3,3
→プレ
10
3
-36XDE
+x³73x
0≦x≦ろのとき3人を言
~S = √₂ ( — — — 1² - 3x) 0x² + S²³ (3 × —— x²) dx
0
+
{/1/2(2/13)}+/2/23-1234
- 27 +27 +27-27
4
27
2
4

ページ25:

練習問題 1.A
数P130.2.曲線yについて、次の問いに答えよ
(1)曲線上の点(1,1)における接線の方程式を求めよ
f00=とするとf(x)=
No.
25
求める接線の傾きはf'(1)=
2
-3
よって求める接線はg-11/12(1)
0
1
(2) 曲線と(1)の接線およびy軸で囲まれた部分の面積を求めよ
1/2x+2/2
S=fo^(1/2x+1/x)dx.
=[本+/-/3]!
2
+
4 え 3
3+6-8
12
=
12
3.曲線1号(0≦x≦1)の長さを求めよ.
11xよりy=1/
1 + (y)² = 1 + (√70)
5+= 1 +x
=
3
よって求める曲線の長さはl-えん
=
(+
+x
3
2
=
22
= //1212-1)
Saada
=fxdx
+
曲 曲線y=f(x)の
長さは(assb)

ページ26:

練習問題1.A.
4. x軸上の点(0<x<I)でス軸に垂直な
z
平面で切ったときの切り口が半径x(ノース)の
半円である立体の体積を求めよ
切り口の半円の面積S()は
No.
26
立体の体表
をSとすると
V. Så Sush
π
2
(1-2x+}
π (1^=2x²+X")
よって求める立体の体積は
・[x→+1]
2
(52+2) 10
6-15+10
30
30
Z
5(木)
0
2
IL
60
5.次の図形をx軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ
(1)曲線y=と両座標軸および直線x=1で囲まれた図形
曲線y=f(x)
V = πS" (e =~) dx
"π So ex d
・[ze^x]
4x
===== le²-e²)
・赤(4-1)
=
y=ezt
軸、Tab
で囲まれた図形を
ス軸のまわりに
x
V
回転してできる
Ja
Frazier
* Flax+b+c+
Senbu
=zem

ページ27:

Date
No. 27
(2) 曲線y=&te
2
と入軸および直線x=2とも2で囲まれた図形
V = π √₂ (e² + e =) ³dx
2
- 4²² (e²x² + 2 + e²²) dy
=2.11
=2·4 f² re²² + 2 + e²²²
2
(e
[zez+Zx
- ^/^²( \e² +4 - 1 e*)
2
-
*
匹
2
=—=—= (e² +8 - e²² )
= 4/7 (e² + 8-e4 )
2272
-2
2
6. 次の図形を入軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ
ただし、a,b,h,rは正の定数とする
(1)楕円器+=1
b²
y² = b² (1 - x²)
g² =
B
(0²-x²)
-b
f(x)=e²+2+e"
fl-Ne²+2+²²
こ
f(x)
偶数
02
1.土(ポーズ)
求める体積は楕円の上半分1:17(a-x)と大軸で囲ま
れた図形を入軸のまわりに回転しててきる回転体の体積だから
V = x Sold - x)} dx
=
T
Sa
ba
-a
102
bea
02
Dx Sa² (α² = x²) dx
→次のページヘンデル

ページ28:

No.
28
bi
6. (1) V = 2 b^ So (a²- xxdx
続き
2BT
2012 [0x-1x f
22
=2b²x (a³- fa³)
92
2 bx 32/3 a³
· Arab²
93
(2)直線y=r-最大とx軸および可軸で囲まれた図形
直線y-r-最大の交点は
0=r
x = h
よって求める回転体の体積は
V = x S² (r- xxx) dx
=
ース
x² (p. 212 Ex)dx
ch
h
· xr² √ ^ (1 - 2 x + 1 x² ) d x
=πr²
h
=ar[メーカ+x]
= πr² [h=h+h ]
・こん
3
h
10
F
-r

ページ29:

練習問題 1.B
No.
29
P1311.曲線y=ペース上の点(0,0),(2,2)のそれぞれにおいて接線を引くときg(スージー
これらの接線と曲線で囲まれた図形の面積を求めよ.
f(x)=ガースとするとf'(x)=2x-1
f110)=-1,f(2)=3
よって10.0)における接牲はyo
(2,2)における接線はy-2=3(x-2)
y=3x-4
この2本の携線の交点の入座標は
42=4
x=1
0
2
D≦x≦1のときパースコース、1≦x≦2のときオースチ
よって求める図形の面積Sは
S = {' { U²= 1) ( − 1)}da + S² Ex-x)=(3x-4)}dr
→ズ+S(オー44)
=
=[1]+[1/3x-2x+4x
- 1/1313+1+1 31 - 8 +18 - ( 3/31 - 2 + 4)
=8-2
2
3
2.次の曲線の長さを求めよ.
=
こ
(1) ª. ≤ x² -
źlogx (1 ≤ x ≤2)
y' = x-4x
1 + (1f)² = 1 + (x-1/2
=1+x2-1/3+
=x+1/+
+76x2
76x2
-(x
→次のページへ
+

ページ30:

B12(1
続き
よって求める曲線の長さは
l = S²√1+ (y)² dx
= Sidex + Ax dx
= SP² 1 x + A x 1 dx
1≦x≦2においてスト
4x
70なので
8:1
No.
30
= P² (x + 4x) dx
= [{ x² + + logiα1]?
2
= ( 2 + 4 log 2 ) - ( + + log 1)
3
2 + £ log2
(2) Y = 1 x³
y' = x 1
(0 ≤ x ≤ 2)
| + (Y')² = |+x²
よって求める曲線の長さは
e-S² Hip
be
= S₁ = √1+x dx
(教P112 問15より
x
2
S√x²+Adx = 1 / (x+x+ A + Alog/x+(X+A)
= 1 / [xx" +1 +log [x+x+1]
=
= {2√5 + log 1 2 + √51 - (0+ log 1)}
= (2015 + boy (2+15)
=15+12/2/log(2+15)

ページ31:

(3)g=2/5(4x-3)(1≦x≦)
3
23
-
主
2/2-1
1² ²² ² ² 1² 1 1 x ³ ³
y' =
32
-
-
1
4
22
W
1 + (9')² = 1 + (√x - 4√2)
- 1 + 1-1/2 + 1/2
・1+x-1/
○x+1/+
16x
(+税)
よって求める曲線の長さは
4
16x
No.
31
l = √ª² √1 + (yr)³ dx
→(+) d
Saxdx = Sa = da
2dx
=(+税)
=[+]
4.2+1/2 (12/12)
16
=1/3+1
14
3
-
+12
28+3
6
13-1/
2
2
2
=2+
31
6

ページ32:

練習開題 1.B
数131 3. 半径aの円の1つの直径をABとする。
AB上の点Pを通り ABに垂直な弦
を底辺とする直角二等辺三角形
CDE ABに垂直な平面上につくる。
PAからBまで移動するとき、この
三角形が描く立体の体積を
求めよ
A
C
CDは、
DP=√aより
CD=210²-
円の中心を原点におくと、ACDEの
-a
a
H
0
A
ス B
No.
32
30
P
B
x
-a
XCDEは直角二等辺三角形なのでDP=CP=EP
45
E
よってEP=ープ
ACDEの面積S000)は
145
Ja
-D
= a²-x²
P Jazz²
したがって求める立体の体積は
-a
V = La scode
= Saª² (α² = x²) dx
=
=2Soa (a² = x²)dx
=
=2
2[m-
2(03-1/2303)
・
f(x):ローズとおく
f(-1)=0²-(-x)²
=012²x²=fix)
よってがープは偶関数

ページ33:

練習問題1.B_
Date
No. 33
5731 4. 放物線y=xと直線にスで囲まれた図形を入軸のまわりに回転してリース
できる立体の体積を求めよ
2アのグラフの交点の座標はx=x
Y = x²
x(x-1)=0
7=0.1
求める回転体の体積は、直線y=x
軸がXで囲まれた図形をス軸のまわり
上回転しててきる立体の体積から、物線A
☆2
1:火と大軸および大1で囲まれた図形を
大の割りに回転してできる立体の体積をひいたものなので
V = 15" 60³dk - π So (x²)³
0
・ (So x² dx - So²x² dx)
= π ( [²±² x²³] ! — [ { t³]!)
こ
=π(1/3-1)
2匹
こ 15
-
5.円x+(y-b)²=a2の内部を入軸の
まわりに回転してできる回転体の体積を
求めよ。ただし、a,bは定数で.0<a<bとする
> (y-b)=ax
y- b = ± √ √α² = x²
y=btrax
y2bのとき y=b+ローズ
なくbのとき y=b-02-12
=π So (x²-x+)dx
=(1/3-5)
=2才
15
-a
b.
y
a
y=btrax
y = b~ √√α²x²
a
次のページへ

ページ34:

1315
続き
よって求める回転体の体積は
V = π Sa² (b + √α² = x)dx - xsa (b - √α = x) bo
-a
- x [^ { (b + x) - <b 10² - x)]dx
回転体の体
V=Z Stud
= π Sa₁₂ (b + α = x² + b = √ α² x (b + α= x + b + √σ x ) de
=
Jazb210xdy.
f(x)・102-2
= Arch Lada²x doc
- √ a²x² -fix)
=8xbfa1a³-x²² dx
よってJ2-Xは偶数
=8b [1/2(スーパ
+0'sin Za
=4πb (ada²=-0² + a² sin+a) - (0 +0²sin+ 0)}
=4πb (a² sin+ 1-a²sin-o)
=4πb.a² 1
· Zπ²α²b
2
6. 半径の半球形の容器に水が満たされている。
この容器を静かにだけ傾けたとき、流れ出る
水の量を求めよ.
0
r
上
2
流れ出る水の量はグラフの
✓余報部を入軸のまに回転
してできる回転体の体積となるので
=
* Ber-x)dx
=π[12-1]
-x (²)
山3
=
2/30(
24
24
r
12V-12
24
sinh: 0
x=0

ページ35:

Date
Step up
No. 35
55例題曲線y.logxとこの曲線の原点を通る接線、およびス軸で囲まれた
図形の面積を求めよ
y' = t
曲線と接線の座標を(t, bigt)
とおくと接線の方程式は
y-flot=1/12(土)
これが原点を取るので10,70を代入して-loat=-1
M. logx
te
log += 1
よって
より接線の方程式は
y-l=/(x-e)
1.++1
y = n
よって求める図形の面積をSとおくと
-s. So da se loge dr
=
é [±²x²]² ([xloq x]² - [²x²±dx)
20
'e
= 2 [x]e - [x log x ] e + f² 1 dx
(
e-(eloge-logi) + [x] e
2.
-e + (e-1)
=1-1
N
t = e
t-e
So furgunds
= [fin Gwo] - Son fin Godd
= [Fw gwla-fa Fung unda
Shadeにおいて
fix=1. geo-log(2)EASE
gw
F(x)=x, g'(x) = x 8"
Salog adre
= [x logz]"-fx.

ページ36:

25
Step up
No. 36
間55214
(1) 接線の方程式を求めよ
曲線Y・プーチス、および曲線上の点A(1,-3)における接線に
ついて、次の問いに答えよ
Stel
問P55
fix= x²-4x
f
f(1):3-4
よって求める接線は傾きが-1で(1,-3)を通る直線
1-(-3)=-(x-1)
y=-x-2
(2)曲線と接線の点A以外の共有点Bを求めよ
5y = x²-4x Ø
59=22-4x
②
x
2
y=-x-2
①を②に代入
オー4x=-x-2
110-32
x3-3x+2=0
(x-1)(x²+x-2)=0
(x-1)(x-1)(x+2)=0
(x=11-2
大-2を②に代入
y=-1-2)-2
=0
7
したがってBC-2,0)
(3)曲線と接線で囲まれた図形の面積を求めよ.
V=S₂ {x²-4x-(-x-2)}/
シ
こ
S(プー30+2)du
[ネーポ+2x]2
4-2/23+2-(4-6-4)
27
4
1~6+8+24
4
1 1-2
1-2101

ページ37:

Step up
Date
No. 37
yxで囲まれた図形の面積は一定であることを証明せよ、
55 215 放物線1=x+1上の任意の点、1における接線と放物線
f():+1よりf(x)=Z入
f'(t)=2t
y=x+1
よって接線はリー(ピチ12t(xt)
-(t, t²+1)
y-2tオーゼ+1
0
Hyxと接線との交点は
x=2tx-t2+1
-λ²-πtx +t²-1=0
x²-2tx + (t+1)(t−1)=0
チュー(1)}{オー(13:0
x=t+1,t-1
よって囲まれた図形の面積は
t+1
V = √++ (2x-t²+1−x²)dx
2-1
TH
=
-
ピウピ+3t+1
-ガー3ピ+30-1
=t{(t+1)²(t+1)} −t\{(t+1)−(t−1)} + {(t+1)-(t−1)} }} {(t+1) ³ = (t-0°
- t • 4t - t²² 2+2 - — — (61²+2)
= 4t² - 2 t² +2-2t² - 3/23
6-2
##
よってもによらず面積は一定である。

ページ38:

Date
No.
周55 例題 2点P(x,ス+1), Q(x,COSx)を結ぶ線分PQを1辺とする
正方形を平面に垂直な平面上につくる。Pが点(0,1)
#5点(π+1)まで移動するとき、この正方形が描く立体の
Z
38
体積を求めよ!
0
4.X+1
y
PQを1辺とする正方形の面積は
(九十1-COSX)だから、求める立体の
体積をVとおくと
V = √² (x + 1 = cos x)² dhe
=」 " (+1+CO5'+2x-200sx-2xcosx)dx
=(x+1
= [}x²+x+(¾½ + ½ sin2x) + x²−2sinx-(27 sinx + 2 cost)]
=[1+2/+2/+12+2x) sinx-2005]
半角の公式より
17+COSOL
2
C053x=1+60527
2
Scosady
11+ (05231
+11+5236
= 1/7 ² + 2)²π + ½ sinπ +π² - (2 +2k)sm-2005π-(-21050) = 1½-(x+1} })}+ (
31
3
厚+2+π-2(-1)+2.1
I'
+++4
3
fix qui
f(x)=2, Gu)=sint
=2xsinx-f25d
= 2xsinx + 2005+

ページ39:

Step up
OA
No. 39
216 軸上の点を通り軸に垂直な直線が放物線y=チスと交わる点 ニチ
QRとする。QRを底辺とし頂角が30℃の二等辺三角形を燗 y=12
平面に垂直な平面上につくる。Pが原点から(1,0)まで移動する
とき、この三角形が描く立体の体積を求めよ。
m
30
m
0 P: 1
-4'
R
4
35
P(x,O)とするとQ(x2)、R(大,-2), QR4F
二等辺三角形の等辺をmとおく、余弦定理より
m² + m² - 2mm cos 30° = (45x)²
2m²-2m². 13 = 16x
(2-13)²=16x
m² = 16x
2-
16(2+店)
m² = 16 (2+√3)
(2-3)(2+3)
m²=16(2+1)x
二等辺三角形の面積S(x)は
S(x)=1/2m.m-sin300
よって求める体積Vは
=1/116(2012/2
= 4 (2+√3)x
V = So 4 (2 +√3) xdv
=4(2+3) [2/火]
=(z+5)(120)
=2(2)
x

ページ40:

Step up.
P56 217 図の曲線+何=1について、
次の問いに答えよ。
(1)この曲線と両座軸で囲まれた図形下
[の面積を求めよ。
sx + √ g = 1
1枚
y=1-212 +2
よって求める面積はF-5(1-2+x)dx
[x2+2/2]
=1-1
6-8+3
6
(2)図形下を入軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求める
V = π (" (x - 2√x + 1)² di
Jo
= x² (x² + 4x + 1 - 4 x 5x - 4√x + 2x)dx
πS” (x² +62 −4x²² −47 ½ +1)dx
=九
+3x²
=(1/3/3+3-8-3+1)
* 7 ( 4 - - 1/3 )
=
=
π(60-24:35)
15
1-X-2524

ページ41:

No.
41
例題 放物線y=ax+bx+c (a>0)およびこの放物線と2点で
交わる直線で囲まれた図形の面積は、それらの交点の座標をα,3
(a<)とするとき、1/2a-a)であることを証明せよ。
y
面積をSとし、直線の方程式をy=px+qとすると
1-87767+0
-y=px+q
·S = [^ { px+q = (ax + bx + c)} dx
-
ax+bx+cの2つの解がメ乃だから
patf-lax+bx+c)= -a(x-a)(x-1)
px+q=
分積分法を利用して
- a fax (x-xx-x
S-S² {-aux-α)(x-3)} dx
=
1
of
a
f(x)=(スーム),
F(x)=1/2(スース)2g(7=1
910-12-1372732
- a { [ 1 a wax m ] f f = (x-x/dx}
-a_{1}}
= — a (B-2) ³
-xx
218 次の図形の面積を求めよ.
2
(1)放物線y=2x+3x-1とX軸で囲まれた図形
-3117より
放物線と入軸との交点は入
4
13
d=-3-√17
-3+√17
B=
4
↑上の例題の
H
式に代入すると
3ヶ
33-匹)
S = 1.2 (=3+ √17-
4
1/2(27)
3
4
17117
24
20+ラス・コート+2/2
x

ページ42:

P56218
No. 42
(2)2次曲線y=(x+3)(x-1)とy=-2x+2で囲まれた図形+メン
y=(x+3)(x-1)
1=x²+2x-3
よって0=1
27のグラフの交点の座標は
x2+2x-3=1/2x+2
x²+1/2-5=0
2x+5x-10:0
(2+1)-3+1
525 +80
X. =
4
-51105
4
8.7α- 5-1105, B = - 5+1105
4
S=1/2a (Box)より
S=
35.
4
1-51105-5-105
4
4
1/2(245)
5105d105
26-8
35,105
16
P56219 放物線y=x2と直線y=mx+1で囲まれた図形の面積を
mを用いて表せ。
2つのグラフの交点のx座標は
x=mx+1
x²-mx-1=0
x = m = √m²+4
m-m+4
a
2
mtm²+4
a=1
FIF

ページ43:

+)
Date
56219
続き
よって求める図形の面積は
S = f. 1 (m² + √m² + 4
=
=
2
1/5.12.12+4
2
——— (m²+4)√m² +4
1階 220 3次曲線y=ax+bx+c+
m-
+4
2
d(azo)
とその接線で囲まれた図形の面積は、接点
の座標を〆、交点のx座標をBとするとき
//za(13-x)となることを証明せよ。
12
面療をSとし、接線の方程式をy-patgとする
arpacz
S = b² { (px+q) = (ax² + bx² +(x+d)}dx
=
={-act-a)(x-3)}dx
a
~a{ [} ^^-^)^{(x-1)]² - S² = 4x-23-1-
- a{ - — — = [ = (x² - α) "]" }
a<Bのとき
na
S = Sa² {ax²+ bx²+ca+d=cpx + q}}bx
=
JB
(x²² {a (x-x) (x-3)}dx
a { [ {(x-2)² α-^)]² - ft² = (x-2)³ dhe
4
- a {~ \} = \\ | \(x-2)²/^~^ }
-
=-— a { - 4 (3-2)²²
2013-214
No.
43
y=ax+bx+c+d
Furce-x), g)=x-p
F19=-6-29, g'(x)=1
[レスタ

ページ44:

間門57例題 放物線x=yと直線y=-2で囲まれた図形の面積を求めよ。
4:オー2の文につ仰を代入して
交点の座標を求めると
y=-2
y
y-y-2=0
(x+1)(7-2)=0
y=-1,2
4:22はオリッとかけるから
S² 14+2-πldy
KE OSS A
q
間P57 221 放物線x=y-1と軸で囲まれた図形の面積を求めよ。
放物線と軸との交点の座標は
0=72-1
y2=1
=
-leysiner, y² 1≤017012
{', {0-(y=-1)} dy
-S' (-y²+1)dy
1-37+7]
3/3+2
-
(3-1)
0
43

ページ45:

明37222 放物線y=プと直線y=2で囲まれた図形を軸のまわりに回転
してできる回転体の体積を求めよ.
のまわりに回転してできる回転体の
Vは
V=II Sax2dy とけるので
" =
2
xよりx=土
x20のとき大
よって求める回転体の体積Vは
V =π S² (19)² dp
・2
-xS ² y dx
紅
2匹
え
y
y=x²
y=2
0
仮
N
223 曲線y=xを4軸のまわりに回転してできる回転面を内壁とする容器に毎秒
60.75%の割合で水を注ぎ入れる。8秒後における水面の高さを求めよ
水面の高さを兄とすると、水量は
ch
V = x Sh x² dy × 773
X20のとき=xはx=√となるので
V = x) FJ dx
よって8秒後の水の高さは大dy = 60.75×8
-h
326075
322025
3)675
X
100
1/3 h² = 2.35
h2 = 36
32225
3275
5225
5
3'=(32)
h²² = 8) = 2
=(34) 2
81
h=81