ページ3:

3
5枚の封筒に1から5までの数字が1つずつ書かれている。また,5枚
のカードに1から5までの数字が1つずつ書かれている。 5枚のカードを
1枚ずつ封筒の中に入れる。
(1) 封筒の数字と中のカードの数字の和が, 5つとも偶数であるような
カードの入れ方は何通りあるか。
(2) 封筒の数字と中のカードの数字が,ちょうど1組だけ一致するような
カードの入れ方は何通りあるか。
この問題については, 解答用紙の所定の欄に答えだけを書くこと。
(30点)
-3-
CB04M-4

ページ4:

4 放物線C : y = x2 +7のy軸の右側にある部分に,点P (t, t2 +7) がある
(t > 0)。 点PでのCの接線と法線をそれぞれL,Nとする。 さらに, L, N
と軸との交点をそれぞれQ, Rとして,三角形 PQR の面積をSとする。
(1) LおよびNの方程式を求めよ。
(2)Sをtの式で表し, 4tSが(t2+7)2で割り切れる整式であることを示せ。
(3) t が正の実数全体を動くとき, Sの最小値を求めよ。
この問題については,答えだけではなく, 答えを導く過程も書くこと。
(40点)
-4-
CB04M-5

ページ5:

(1)
cost x dx
0
cos 2x =
2 cos²x
-
2 cos²x
1 =
cos 2x
2 cos'α =
| +
cos 2x
+
cos 2x
COT X =
:
=
0
=
2
2
(cos² x)²
+
+
cos
=
2
2 cos 2 x + cos" 2x
2x
2
)
4
+
+
2 cos 2 x
+
cos 4x
2
4
2
+
& cos 2 x
+
|+
0054x
8
+
cos xx
3 + 4 cos LX
x dx
8
=
S
= + [
8
3 + 4 cos 2x + cos 4x
8
4/
3 x + 4 — — sin 2x +
4
1 — — sin 4x] =
3
-π + 2 sin
sink) - 0 }
4
2
元+2/+
文
0 )
3
・最
+
32
(答)

ページ6:

(2)
n > |
整数
loga 5
+
2
logn 5
<4
2
+
<4
log 5
log 5
log 2
log n
log 2
2 lg n
+
<4
log 5
log 5
e>l
で
lug 5 > 0 Tj a t
log 2 +
e>なので
n > o
52
2 log n < & log 5
2 log n < & log 5-lug 2
2
log n² < log 5" - log 2
log n² <
2
> 0
より
2
5"
< leg
log 5%
n <
5"
2
厚
5
2
2
= 17.5
2
=
52
反
=
25×1.8
2
n =
17 のとき
172
=
289
n=18 のとき
18² =
324
5%
625
=312.5
2
①を満たす最大の整数
17
N IJ
(谷)
①

ページ7:

2
x
2
x+
+
2
y≤4
kを実数として
x+2y=k
とおく
かっ (2)
の
表す領域は
の
斜線部分
ただし、境界線を含む
① P (2)
の領域
3
共有点を
もつ
ようなんの最大値
最小値を
求めればよい
(3 は X + 29 =
[1]
の
29
-
x+h
ん
y
=
-
x+
-2
傾き
-
切片 1/4の直線
2
2
Aを通るとき
切片
2
は最大
んも最大
y
=
x+
と垂直で
2
2
原点を通る直線は
y
=2x
-2
→x
2

ページ8:

A12
x座標は
x² + y² =
=
4
と y=
2xの共有点
2
2
の解
2
x +
2x)
+
4x
5x
2
=
4
2
=
4
=
4
2
4
x =
5
x>0より
4
x =
=
5
このとき
[2] 図のBを通るとき
[2]図
y=2x= 2
x+2y=
2
2
15
=
45
4
店
2
+2.
15
10
10/5
5
=
55
255
2店
最大値
(谷)
2
4
x =
y
のとき
店
15
k
切片
は最小
2
k t
最小
Bは
x² + y²
=
4
と x+y=
x+y
=
よう
y
=
x+
2
x
+
(-x+1)
2
=
2
2
+
X -2x
+1
2x²-
2x
3
=0

ページ9:

2x2
+ 2. (-1) x 3
-
= 0
x =
- (-1) ± √(-1)² - 2. (-3)
さ
2
2
+ 6
3
のx座標は
x =
y=-x+1 より
y
このとき
x+2y
=
最小値
2
=
=
-
+ √7
2
-
1+17
2
2
2
√
万
+1
+
2
2
+ 7
1 +
2
2
+
+ 2
2
2- 2/7
2
3
-
2
3
-
1+7
2
(答)
1-7
x=
y
2
2

ページ10:

3
封筒
5
カード
~
5
(1) 封筒 カード
の
和が偶数
和が奇数となるのは
封筒が 1.3.
カードが 1.3.5
5の奇数のとき
の
奇数
封筒が 2 4
の偶数
のとき
カード が24
の偶数
3 X
21
=
(3.2.1)x
=
6
=
12
× 2
(2.1)
(通り) (谷)
(2)
封筒とカ
-
ドが一致する
数字の選び方は
5通り
一致する数字を
「
5
とする
カ
-
FT
が封筒2に入るとき
どの封筒と
カ
ドも
番号が
-
致しないのは
下
9
ような
3通り
封筒
2
3
4
カード
2
4
3
2
2
3
4
2

ページ11:

カード | が封筒3,
同様に 17
4
それぞれ
に入る場合も
3通りずつある
封筒1から4と カードから4が
一致 しない のは
3×3 =
9
通り
②
① ② より
5 x 9
=
45
通り
(谷)

ページ12:

2
4
C:
y
= x +7
(1)
P (t, t² + 7 )
( t > 0 )
L
接線
N
法線
y
=
y
2
x +7
= 2x
P(t,ピ+7)における接線Lの
方程式は
y-(ピーク)
=2t(x-t)
2
y
2
2tx 2t + It +7)
-
2
L:
y
=
2tx
-
t
+7
法線Nの方程式は
(答)
y-(+7)
=
(x-t)
2t
y
=
x+
+(ピ+7)
2t
2
2
15
N
y
=
+ t
2t
+
2
(答)
(2)
L
Q
の
の解
y
=
2tx
x座標は
2
t
2
+7
2tx t+7 = 0
-
2tx=
t70なので
x =
ピーク
N
ピーク
Q
0
2t
S
P
R
x

ページ13:

ピーク
(1-7,0)
Q 1
2t
N:
y
2
15
=
x +t
2t
R
のx座標は
15
x + t +
0
2t
の解
2
15
2t
スニーピール
x
=
x
=
3
=
2
(t² + 15 ) 2t.
2
2t³ + 15t
R ( 2 t³ + 15 t, 0)
4 t S = 4t x — — QR-(1+7)
(1
=
=
=
=
t
14t
2
t
(20+15tピーク)(+7)
+
2t
3012
-
(ピーク)}(+7)
14t" +29t+7)(+7)
2
2
( t ²+ 7 ) ( 4 t² + 1) (t*+ 7)
2
(t² + 7)² (4t² + 1).
4t 5 15
(+7)2で割り切れる整式である

ページ14:

(3)
4t5
=
(t² + 7)² (4 t² + 1).
t > o
なので
S =
(t²+7) (4t² + 1)
4t
{ (t² + 7) ² ( 4 t² + 1) | 't
(t² + 7 )² ( 4 t² + 1) ·(t)'
5.
+1 ( 2 (t'+7)-2-(41² + 1) +
+7) 2t (4 t² + 1) + (c'+7)' st / -t
=
4t'
=
- (t² + 7 ) ² (4 t² + 1)
(ピナクア(4+1)
|
1]
417)41401)+(ぴよとも
[ { (t²+7) · 4t (4t² + 1) + (t'+7) * &t { ·t
4t2
t²+7
4t2
ピ+7
4t'
- ( t ² + 7 ) ( x + ² + 1 ) ]
( 4t (4t² + 1 + 2t² +14)-t - (t'+7) (4(*+10}
(ピーク)
(4t² (6t²+15) - (st"+t'²+Û²+7)
4 2 8
2
t² + 7
124t
+6012
4t'
4t - 29t² - 7)
2
t² + 7
4t2
( 20 t + 31 t
(t² + 7) (4 t² + 7) (5t'-1)
4th
7)
5' = 0
とすると
to より
5t² - 1
= 0
5t² = 1
=
5
√5
0
+

ページ15:

S'の増減表
Gill -
無料
Sは
+
店
t =
55
のとき
最小
S
=
4
7)2 (4/+1)
2
4
9
早
(6 + + )
{ '+ (¾³/ )· * },{ b + ¸(±1}
2
()
4
36 9.店
4·55
2916
125
15
(答)