ページ3:

(point)
① 共通部分
③ 補集合
②名集合 17090
AUB
ANB
このUを全体集合という
(Union)
A
◎ 補集合の性質
①ANA=$
AUA=U
③=A
④ACB⇒ AB

ページ4:

75736
(1)A= 1,2,3,6} B = {2.4.6.8.10}
AnB = {2,6}
AUB
=
{1,2,3,4,6,8.00}
(2) A={x10xxく3,xは実数}
B=1x12≦x≦5,xは実数}
ANB={x12≦x<3,xは実数子
AVB=fx10xx=5,xは実数}
のとき
8
B
10
0
2
3
5
1597
U12, 3, 4, 5, 6}
A={1,2,3}, B=33.6} とする。
ANB
①AnB = {3}
AUB Ā 4 A n B
②AUB = {1,2,3,63
A = 4,5,6} 4 A
n B
= {6}
1
+
↓
↓
Aじゃない
{4,5,6}
13,63
・☆(ド・モルガンの法則)
①AUB
=
An B
B
2
4 5
②ANB =
AUB

ページ5:

研究
例1
Date
A={3,6,93
B={1,2,3,6}
について① ANBAC ② AUBUC
C=32,4.6.8}
③ (AB)UC
④ An(Buc) ⑤(AB)UC
を求めよ。
①ABAC={6}m
イメージ
A
2
② AUBUC = {1,2,3,4,6,8,9}
(AMB) UC= {3.6} UC
④ An(BUC)
=
〃
{2,3,4,6,88
An{1,2,3,4,6,8}
B
{3,6}, (かっこ)の順で求めたい
要素が変わる!
3
⑤(AnB)UC={9}UC
{2,4,6,8,9}
4
8
C

ページ6:

Date
82.2 命題と条件
命題…○か×かが明らかになる文や式。
例 (1) x=2ならばx=8だ。
(2)シャーペンの芯は炭素からできている。。
(3) 藤岡は優しい←基準がわからない
(4) 1億は大きいん
命題ではない
(5)この命題は誤っている
真なら…
おかしい
偽なら
これもおかしい。
パラドックスという。
(1)のような ならばである」形式のパターンが
~
仮定
結論
上
これを記号を用いて
⇒国」と表す。
正しければ真 誤りであれば偽といい。
偽の場合は反例(例外)を1つ出す必要がある。
(1)x:実数とし、≦2x4
真
仮定の数がすべて結論を満たす。
多い。
mi自然数とし、
mが12の正の約数
介
1000000}
mが24の正の約数
①②③.④.6.8.12.24}
⇒mが12の正の約数
注 mが24の正の約数
偽
反例
m=24
or
m=8
仮定は満たして
結論は満たさない。

ページ7:

(3)x:実数とし、-1<x<1
これは偽 反例
⇒x>0
x=0やx=-0.5など
◎必要十分条件
fdef)(必要条件/十分条件)
命題が真であるとき、
Pは&であるため
の十分条件であるといい、
&はPであるための必要条件であるという。
Pは兄であるための
4パターンある
①必要十分条件(どっちも口)
②必要条件
( &PのみO)
Date
(2)
③十分条件 ( p ⇒ & 9 7 0 )
④必要条件でも十分条件でもない(どっちも×)
⇒
必要十分条件はP && pがどちらも成り立つので、
P& と表す。
Pの内容と兄の内容が同じなので同値ともいう。

ページ8:

(3)x:実数とし、-1<x<1
これは偽 反例
⇒x>0
x=0やx=-0.5など
◎必要十分条件
fdef)(必要条件/十分条件)
命題が真であるとき、
Pは&であるため
の十分条件であるといい、
&はPであるための必要条件であるという。
Pは兄であるための
4パターンある
①必要十分条件(どっちも口)
②必要条件
( &PのみO)
Date
(2)
③十分条件 ( p ⇒ & 9 7 0 )
④必要条件でも十分条件でもない(どっちも×)
⇒
必要十分条件はP && pがどちらも成り立つので、
P& と表す。
Pの内容と兄の内容が同じなので同値ともいう。

ページ9:

Date
(例
(1)「千葉に住むこと」は
日本に住むこと」
必× 反例:「東京に住む」
であるため、
の
十分
◎反例は P&のときPを満たしているが
を満たしていないものを探す ▷
(2) x=3 はx=9であるための 十分
(3)x=0
※x(x=-3)
であるための
必要十分条件
必〇
+X(x=-2)
x=1であるための必要
(4) 2≥X は
◎条件の否定
point(否定で変わる記号や言葉)
=
C","E
NI
" "
H
③ または
かつ
④ 少なくとも一方は
ともに
⑤ すべての
ある
⑥P
←P(Pじゃない)

ページ10:

Date
AB≠ACまたはAC≠BC
例
①AB=ACかつAC=BC
否
×は有理数
xは無理数
③x20
→
X=0
④xyyg 少なくとも一方は偶数x、yはともに奇数
⑤ すべての実数xについて、x≧0
否
ある実数xについて。
◎逆・裏・対偶
(Doint
千葉県に住む」
⇒「日本に住む」
裏
「千葉県に住んでいない」
⇒「日本に住んでいない」
対偶
「日本に住む」
⇒「千葉県に住む」
裏
日本に住んでいない」
⇒「千葉県に住んでいない」
☆元の命題と対偶の真偽は一致する!
例13
xi実数としたとき、x=1
⇒x=1の逆、裏、対偶
を述べよ
逆: x=1
=> x=
偽
反例 x=-1
裏:
#110: x² + 1
xキノ
⇒
=>
x² = 1
偽
反例
=
真
元の命題と逆、裏の真偽は一致しないこともある。

ページ11:

Date
◎対偶法
例題1
n:整数とする。次の命題を証明せよ。
ηが偶数ならばんは偶数である。
proof
この命題の対偶は
T
んが奇数ならばんは奇数である。」
Jerne
必ずか
これを示せばよい。
んが奇数なので整数をを用いて、
n=2+1
とできる。 そこで、
n² = (2p+1)²
・対偶の証明
=
4+4+1
=2(2歳+2)+1
2k+2度は整数なのでには奇数である。
よって対偶は真である。さらに元の命題も真である。口

ページ12:

◎背理法
Date
poin
「~でない」「少なくとも」
背理法で楽に!
1004
例題2(改)
左が無理数であることを用いて、
(1)1+2√2が無理数であることを示せ。
(2)恒+が無理数であることを示せ。
(1) proo
1+2回が有理数だと仮定する。
すると、有理数を用いて、1+2=rとできる。
1+2√√2=8
r
r-l
2.
無理数有理数
は有理数なので、が無理数であることに矛盾する。
したがって1+2が有理数と仮定して矛盾が生まれたのだから
1+2度は無理数である。口
(2) proof
√2+√3が有理数だと仮定する。
すると、有理数を用いて、√2+3=r
とできる。
√2+√
√
3
r
=
r-√
22楽
〃
ピー2r√2+2
25√√2
=
√
=
2-1
2r
ar
は有理数なので、石が無理数であることに矛盾する。
したがって仮+は無理数である。

ページ13:

te
仮が無理数であることを証明せよ
proof
恒が有理数と仮定する。
√√2
=(P,は整数で互いに素)
√2p=&
2p2 = &...(t) gは偶数である。
とでき、
ここでgは偶数⇒&は偶数であることを証明する。
対偶「ひが奇数⇒びが奇数」であることを示せばいいから
整数を用いて、q=2k+1と表せる。
b^2=(2k+1=44歳+1=2(2+2)+1
2+2は整数なのでは奇数である。
したがって、対偶は真。さらには元の命題も真。
兄が偶数なので整数lを用いて、q=2lとできる。
(☆)に代入して2p2 = (x²
1. P2=2l2
同様にしても偶数となる。
しかし、Pとが偶数であることは互いに素であることに矛盾。
したがってJは無理数である。□

ページ14:

◎転換法
point (転換法)
Date
一連の真である命題P, &,,P292があって
①仮定 P1 P2 P3はすべての場合をつくしている
② 結論&1&2.9」はどの2つも同時に成り立つことがない。
この2つを満たしているとき。
逆&P1, 92 P2.··· はすべて真である。
例 △ABCにおいて、次の[1]~[3]が成り立つ。
このことを用いて[1]の逆が成り立つことを証明せよ。
ただし、BC=a,CA=b,AB=Cとする。
[1]LCは鋭角
>> a²+ ľ² ><²
proof
[2]<cは直角⇒a+b=
[3]LCは鈍角a+bc
<Cは鋭角が直角か鈍角のいずれかである。
a+b²ンであると仮定する。・・①
もしく㎝が直角であればa+b=となり①に反する。
<Cが鈍角であれば、a+bccとなり①に反する。
直角でも鈍角でも仮定にならないので、LCは鋭角である。口

ページ15:

Date
無限降下法
自然数に関する証明に使われる。
(例)
proof
x²
x+2y=4m(n≧3,自然数)を満たす
自然数x.n,Zが存在しないことを示せ
+2y=4で・・・①を満たす自然数x,y,z
が存在すると仮定する。
x=4-2y
= 2 (22" - 4h)
よりは偶数である。
どが偶数⇒上は偶数である。(対偶法にて証明可)
つまり自然数を用いてx=2とおける。
これを①に代入して
h
(2
(2)+2gn=4Z
2g=4z-2だ
y = 27" -2h-1 th
y=2
gh = 2(2n-21-2 1")
iyは偶数
ふyも偶数
自然数lを用いてy=2l とおくことができ、②に代入すると、
(2k)+2(2l)=4z
48 = 2 + 2nden.
4z
n
l
2(2
h-3
n-2
だ+2
l")
いざはは偶数
ふそは偶数

ページ16:

つまり自然数を用いて
Date
Z=2mとすることができ、
③に代入すると
(2F)+2(2ℓ)=4(2m)
" + 21"
Ja
×2
=
4mm
となり、4は①を満たす。
自然数x,y,zが①を満たすならば自然数、、も
満たす。
このことを繰り返すと、任意の自然数Nに対して、
自然数は①を満たす。
ところがNを大きくすると、12/27は自然数にならない。
これは矛盾である。
したがって、①を満たすx,y,zが存在すると仮定
したことが間違いである。
よってx+2y=4でを満たす自然数x,y,z
は存在しない。