ページ3:

(4)
α を実数の定数とし,
f(x) = x2 + 4 + a, g(x) = z3 + 32 - 3 - 3a + 5
とおく。
(a) g(x) を f(x)で割ったときの余りがæ+5となるのはa=
ときである。 このとき, æについての2つの方程式
サ の
f(x)g(x) = 0, f(x) + g(x) = 1
は共通の実数解æ=
シ
をもつ。
(b) æについての2つの方程式
f(x)g(x) = 0, f(x) + g(z) = 1
が共通の実数解をもつようなαの個数は ス
なαのうち最大のものは セ である。
個であり,そのよう
5-

ページ4:

(5) 1個のさいころを3回投げる。 1回目 2回目, 3回目に出る目をそれ
ぞれ a1,a2, a3 とし, f(x) = x2 - 01π +a2 とおく。
ソ
(a) 関数 f(x) の最小値が1となる確率は
である。
タチ
シテ
(b) 2次方程式 f (x) =0が異なる2つの実数解をもつ確率は
トナ
である。
(c) 2次方程式 f(x) =0が異なる2つの整数解をもつ確率は
ヌネ
である。
(d) a3 2次方程式 f(x)=0の重解となる確率は
である。
ハヒフ
-7-

ページ5:

〔II〕
次の あ と い にあてはまる数と, う
から か に
あてはまる式を求め、 最終結果のみを解答用紙の所定の欄に記入せよ。
△ABC において AB = 3, AC = 2 とする。 辺BC上の点Oを中心とする
円 Sが, 辺AB と辺 AC のそれぞれと, 頂点A, B, C とは異なる点で接し
ているとする。円Sと辺ABの接点をPとし,x= sin ∠OAB とおく。
(1) AO-
あ 1AB + い
IAC である。
(2)BC を の式で表すとBC=
う である。
(3) OP の式で表すと OP =
え
である。
(4)のとりうる値の範囲は お
である。
(5) OP のとりうる値の範囲は
か である。
9

ページ6:

( III )
次の き |から さ にあてはまるもの (数や式など) を求め, 最
終結果のみを解答用紙の所定の欄に記入せよ。
8
f(x)=x2+10z+ 17 + とし,座標平面上の曲線y=f(x) をCとする。
I
(1) 関数 f(x) が極値をとるようなæの値をすべて求め,小さい順に並べる
と き である。 そのうち, 関数 f(x) が極小値をとるようなæの値を
すべて求め, 小さい順に並べると
である。
(2) 曲線 C のただひとつの変曲点をPとし, 点Pにおける曲線Cの接線を
lとする。 接線lの方程式を求めるとy= け である。
曲線Cのうち,不等式æ > 0 が表す領域に含まれる部分を C+ とする。
(3)点Qが曲線 C+ 上を動くとき, 点Qと (2) で定めた直線 l の距離の最
小値を求めると こ である。
(4) 原点を通る直線が曲線 C+ と接するとき, その接点の座標を求めると
さ
である。
-11-

ページ7:

[I]
(1)
2
2
α = cos π +
i sin
π
5
(a)
ドモアブルの定理より
5
=
1
2
105
5
2
5
π + i Lin — — — x ) ³
π + i sin 5.
2
2
cos 5.
5
5
=
cos 2 πC
+
i sin 2π
=
| +
i.o
(b)
(a)より
d
5
(2-1)1
2 7 1 5 )
d
4
5
=
=
3
I
0
2
+ α
2³ + 2 + α + 1)
2-17 0
4
ア
= 0
+ d
+ 2 + 1
= 0
イ
(c)
(b)より
¥0 より
4
2+2
3
+
2
+ α + 1
3
4
2
+ 2 + 2
Q2
= 0
+)
こ 0
2² + 2 + 1 +
+
= 0
2
d
α +
+α+
+1
=0
+
・
+
200
++1+1=0
d
d
d
= 0
+(2+)
•- ( + 2-¸ (F+)

ページ8:

lat
d+
d
2
2
0
とおく
5
2+
d
+1d
+
+
=
--
1²-4·1·(4)
2.1
土 11+4
2
2
15
=
-
土15
=
2
= ( cos 0 + i sin O) +
cos Otisin o
=
cos 0 + i sin o
+
· (cor - is inol
=
cos 0 + i sind +
cos 0
-
cos'
-
=
cos 0 + i sin @ +
cos 0
(cor 0 + i sin 0 ) ( cos 0 - i sin o)
isin o
2
sin 20
-i sino
cos' O
(-1) sino
=
cos 0 + i sind +
cos d
i sin o
cos² 0 + sin² O
=
cos 0 + i sin d +
cos O
i sino
= 2 cos 0
π
より
ws
062
5
2
5
> O
cos
(2)

ページ9:

(d)
①③
より
2+
+
〆
④ より
2005
2
500
> 0
3
1+ √5
4
ウエ
=
2
5
2
5
兀
=
=
1
1+15
2
-1+√5
- 1 + √5
オカ

ページ10:

11
(2)
R
2
x
sin x cos x dx
sin 2x
=
2 Linx cos x
より
2 sin x cos x
=
sin 2x
£ in x cos x =
1
sin 2x
x
sin x coTx dx
=
x.
sin 2x du
2
=
1
||
"
x (- 1 / COT 2x ) d x
R
=
-
4
x. (cos 2x) dx
1 x }
- + { [x cos 2X] = - | (x)'. cos 2x de
{[
--
1
"
4
X
+(1/3 con - 0
4
役
{
S
dx
- 1 1. wise de}
A
2x] }
· (-1) - [½ s
[½ sin 2x
八
(Ein T
-
4
2
2
sino) }
+ 1 - 1 - 1 1 0 - 0 1 }
R
キック

ページ11:

(3)
ex + 1
t
endn
0
2 log 3
0
=
t
dt
→
e° = |
e
2 lug 3
2 log 3
°
= { ₁
Si
=
ト
=
ex
(ex + 1)²
とおく
2 log
9
3
2
3
dx
= (e'"')" = 3² = 9
e"
(e"+1)²
-2
dn
=
9
ビリ
* "'}'
t²² dt = [ — — ₁ = "" ], "
9
• [ + ] .² =
− +
9
8
+1
9
9
-
t'
− ( + )
dt
ケコ

ページ12:

(4)
f(x)
=
2
3
+ 4x + a
2
+ 3x²
-
3x-3a +5
g (X) =
(a)
x² + 4 x + a ) x
x
- 1
3
2
+ 3x
3x
- 3a +5
3
2
x
+ 4x
2
-x
-
2
-x
+ an
+(-3-01x
- 4x
(1-a)x
g(x)をf(x)で割った
余りが
x+5 より
(1-a)x
|-
a
-
-
3a +5
a
2a + 5
2a+5=
x+5
-2a+ 5 =
a
a
=
=
I
5
°
0
サ
a = 0 のと
f(x)
9 (x) =
f(x)
twi
=
2
x + 4x
x
3
+3x
-
9(x) = 0
x + 4x = 0
- 3x + 5
=
0
または
g (r) = 0
または
3
x
+3x²-3x+5=0
x (x+
4)
= 0
x = 0,
4
3
x
+
x
3
2
+ 3x² - 3x+5=0
2
3x² - 3x+5=0

ページ13:

f(x)
+ g(x) =
:|
(x²+4x)+(x²+3×2-3x+5)
x
3
+4x²+x
x3+
2
4x +
(x+4)
+5-1
=0
K t
4
=0
(x2+1)
= 0
x =
1
4
=
:
共通の実数解は
(b)
f(x) g(x)
f(x) +g(x)
=
-4
= |
①
①より
too
=
② より
f(x)
= 0 のとき
9(火)
0 のとき
0 または
g(x)
+(火)
=
=
1
1
:
fou = 0,
9 (x)
=
またはf(x)=1, 9(x) = 0
-4
1
g(x) = 0
[1] f(x)=0. g(x)=1
のとき
共通の実数解を〆とすると
+(α)=0より
+4 x + a = 0
g(α) = 0 より
+
3d
30
-3a+5=1
2
より
-42
⑥より
-
4
4
0
I
0
4
-4
0
a =
-
23+32
d
+3d
2
2
-
⑦
3d
-31
-d
-
· 2² = 4 x ) + 5
=
J
2
-32
+3d+12α+ 5-1=0

ページ14:

- ||
+
6 2² + 9 4 + 4
= 0
6
i
4
-1
-5
-X
5
4
0
(α + 1)
(α + 1)
2
=
0
( α + 1 ) ( α + 4 ) = 0
2
(α + 1 ) = ( α + 4) = 0
2 = -1, -4
⑦ より
2=-1983
a =
d=-4のとき
a
=
-(-1)²-4⋅(-1)
-(-4)²-4-(-1)
=
-1+4
= 3
==
16
+4=- 12
9(x)
= 0 のとき
/
[2] f (x) = 1
f(α) = 1 より
g(d)=0より
⑧ より
⑨より
² + 4 α + a =
23 + 3.
a =
-
2³
+3α
23 + 32°
32 3 a + 5 = 0
-
2² = 4α +1
-
3 (-2² 4 2 + 1) + 5
2
3の
2
2
32
+
+120 3
23
2
+62
+92 + 2
= 0
+
= 0
5
= 0
- 2
6
9
2
- 2
-8
- 2
0
2
(+2)(+4x+ 1) = 0
2
α = =
2
または
2² + 2·22+1=
= 0

ページ15:

⑩ より
d=2のとき
d
=
2+1のとき
=
-
d=
=
-2,
-
2-
=
2, α =
2 ±
2
2±13
2
a=-1-2)-4(-2) +1
=
-
4 +8+1
=
5
a = (-2+1)-4(-2+1)+1
=-(4-4+3) +8-4/+1
4+45 3 +8-43+1
=
= 2
a = - (-2-1)-4(-2-13)+l
=(4+4+3)+8+4+1
=-4-43-3 +8 +4 +1
= 2
gf
2-1のとき
[1][2]より
a
=
- L -4.
aのうち
5
5,2
ス
最大の
ものは
セ

ページ16:

(5)
さい
いころ
3回
a3
(1)
a,,a2,
f(x)=x^2-ax+a2
のい
a2, as
63
の
の
方は
1より
f(x)=(x-
ai
2
最小値が
ai
4
2
+ ag
ai
4
2
aiz
4
=
1
+a2
= 1-a2
2
ai
a2-
4
右辺のa2
-
は整数より
2
左辺の
a,
も整数
4
2
:
9112
ai
は
4の倍数
さいころの目より
a,=2,4,6
a12
の
とき
②より
=
a2
4
1
2
a2
=
=
02-1
a.
= 2

ページ17:

a₁
ai
=
=
4のとき
42
(2)
より
=
a2-1
4
4
=
6のとき
②より
5
=
a2-1
02
a2=5
=
a2-1
4
9
10
az
こ
a2-1
=
az
= 10
azは
さい
ころ
の目より
不適
(a,,a2)
=
las}
=
い
①③ より
(2, 2), (4, 5)
11,2,3,4 5,67
2×6
61
(通り)
③
2x6
63
2
タチ
62
18
(b)
f(x)
x2ax+
= 0
a2=0
判別式を
D
とすると
異なる2つ
の
実数解を
もつ
こと
より
| > O
9,² - 402 >0
2
a
> 4 A₂

ページ18:

(ai, a2)
=
13
(4,1)
(5.1).
16.1)
13
(4
'
2)
(4.2)
(5,2) (62)
3)
(5, 3), (6,3)
(5.4)
(6.4)
(5.5),
(6.5)
(5,6)
(6.6)
17
通り
a > =
{1,2,3,4,5,61
6通り
17×6(通り)
(4)
①
より
17 x 6
17
17
ツーナ
63
62
36
(c)
f(x)
=0
= 0
x_ax+a2
異なる2つの 解を
(B)とする
L, B
解と係数
の
関係より
a,
2 + B
=
a,
02
=
=az
I
92>0
より
〆は
'
ao より
£70,
同符号
> 0
x + p > 0
ß > o

ページ19:

a2=1
のと
き
=
〆
B
〆<Bより
不適
a2=2 の とき
a3
= 3のとき
ay
=
d=1
B
= 2
a₁ = 1+2
=
3
4のとき
〆くBより
a2
d=
1. B
= 3
a,
=
1+3=
4
α =
B
=4
は不適
2=2
d=2
d=11
a,
=
B
B
=
= 2
= 2
4
1+4
=
5
5
のとき
d= L
B=5
1+5=6
ai
=
a2=69
とき
ai
I ≤ 9, ≤
く6より
2 = 2
d=1B
=
6のとき
= 1+6 7
不適
=
ノ
B
=
6
B
3
Q=
2
B
=3
ai
=2+3
=

ページ20:

い
19192)
=
⑤ より
{ash
=
(3,2), (4,3). (5.4) (6.5). (5.6)
5通り
{ 1. 2. 3. 4. 5.61
6通り
5×
63
6
(d)
x
f(x)
= 0
ajx+az
重解をもつので
=0
判別式をDとすると
aiが
⑥ より
(-a₁ )
a²
2
4.1a2=0
4az
= 0
ai
=
4a2
4の倍数
a₁ = 2, 4, 6.
5
X
6
通り
=
9₁ = 2
のとき
a4のとき
2'=4a2
4=4az
a2
4
a,
2
=
☐
= 492
=
4
ai
=
:6のとき
6=4ac
36 =
a2
=
az
9
5
5
ニヌネ(答)
62
36

ページ21:

| ≤
azs6より
不通
(ai, a2)
=
=
(2, 1), (4, 4)
(ai, az) (2,1) の
x²-2x+1=
-
(X 1)
2
0
=
0
とき
(a, a2)
=
(X
X
=
a3
(4,4)のとき
4x+4
= 0
-
2)
=0
X
= 2
a3
= 2
(ai, az, as)
=
(2.1.1)
'
(4.4.2)
2通り ⑦
2
2
① ⑦ より
63
6.6.6
1
36.3
=
108

ページ22:

[Ⅱ]
x =
sin LOAB
(1)
A O
A B A C 1J
円。
の接線より
LOAB
=
LOAC = 0
①
とおく
(2)
△ABCで
4018
LA a
=
等分線より
BO OC =
A O
AB: A C
= 3: 2
2 AB + 3 AC
3+2
B
P
00
2
T
3
=
AB +
AC
い
5
5
△ABCで
余弦定理より
2
BC'
=
3 +
=
2
9+4
=
13
-
-
-
2
.
3.2 cos L BAC
12 cos 220AB
12 cos 20
ここで
BC'
=
BC > 0 &
cos 20
=
1
-
2 sin LOAB
2
=
-
2x
13 - 12 ( 1 - 2x² )
=
13
-
2
12 +24 x
= 24 x + 1
BC = √24x² + 1
う
A
2
10
C

ページ23:

(3) op=r とおく
△ABCの面積を
3とする
○OAB+△OAC
3
A
2
△ABC
=
B
C
3.2. sin LBAC=
1/3
3.r
+
2.r
2
3
2
3
Pin2L0AB-
=
r
+
r
5
3
Sin 20
=
2
6
sin 20
5r
66
r
sin 20
5
0 < LBAC くれより
2 sin O cos O
12
Sin o
cos O
0 < 20 〈元
元
0 < 0 <
2
cos 0
2
COT 0
> O
1- sin o
=
-
Pino
sinto
+ cos² 0 = 1 £;
cos
cos 0 > 0
より
12
sin0/1
sin20
5
12
op=
x/1
-
x
え

ページ24:

(4)
円 S と ACの 接点を
A
Q
とする
3
0 2
P
元
0 < 0 <
より
2
Lin O > o
OP
AP
OP
cos 0 > 0,
=
tano より
tano
AP tano
tano 20
AP
A
OP
AP-
=
OP
tan O
Sino
1050
0
Cos
OP
=
Sin O
11- sin² 0
sino
=
8
op
(③より)
0
12
x / 1
-x²
2
( (3) より)
×
5
12
(1-x²)
AQ
=
12
13- 11-x²)
APA B
0 < A P <
④より
3
0 <
.
12
AQ CAC
0 <
より
AQ<2
13- (1-x²) < 2
0
< 12 (1
-
x²) < 10
10
0
(1-x
2
2
- | < - x² < — - |
12
5
e
C

ページ25:

(5)
> 0 > 0
| > x
>
-
>
2
>
6
>
x
L
>
元
2
で
o < sind < >
0
<x
より
店
<x
56
<入
6
>
→>
| >
5
(3)より
OP=
12
5
x
2* - 11
12 x11
x²
=
x
12 × (1-2²)
5
+(x) = 11/
とおく
〃
\'(x) = 1 - ((x) (1 - x²) +
+
x
-
x
お
12
=
11-x²
+
2x)}
-x²)
[ <**350-0 +-7+3(x-1) | | |--
2
x
(-2x)
21-x2
x
(x - 1])
12
5
(x-1 -1 -1 -
)
x2

ページ26:

(x) f
16
>
=
12
5
=
x -11
12
1-2x
-x
=0とすると
x
12
1-2x
=
5
1-x2
1-2x2
= 0
-2x²
=
x
2
=
2
<1より
x =
√2
f(x)の増減表
x
f'(x)
f(x)
6
+
0
-
↓
16
256
fl
6
5
6
5
(1)f
早け
12
・
5
=
0
> (x) => 0
0 < O P <
6
5
12
|-
か
25
6

ページ27:

[別解]
OP=
12
5
11 ×
x2
=
5
(x-1)=x |
ハ
25
か
12
5
=-1²-42-61
5
12
12-
(x²
-
5
2
2
+
-(x-x²)
x
=
の とき opは最大
(+4-11 11-10 221 2
16
=
のとき
OP
6
(1台)
5
12
5
215
6
5
5
で
12
of = 12² T = 1 1 -6
5
2
5
ズー 1
のとき
5
4
12
x =
1の
とき
op=
6
5
$ > 10> 0
= 0

ページ28:

〔〕
f(x) = x² + 10 x + 17 +
C: Y
=
f(x)
8
x
2
x + 10x + 17 + 8x"
(1)
tw
=
f'(x)
=
2x + 10
+
8
-8 x²
t'a
=
2 x + 10
→
2
=
0
とすると
8
2x + 10
= 0
x²
①
3
2K
3
x
+10x
+
(x+1)(x
x = -1.
x =
|--
L
+
2
2
-
= O
x 4 = 0
-
4x
-
4) = 0
x
+
4x-
x = 0
x =
,
- 2 ±
2211-4)
x =
=
=
=
「
-
2 ± 4+4
2 ± P
-2±2/2
21 22
f(x)の増減表
tw
-
-
2-22
0
fu
↓
+
- 1
0
-
↓
5
4
-4
4
-4
0
0
-2+2/2
0
+
極値をとるとは
-2-2√2-1-2+2√2

ページ29:

極小値をとるとは
-2-22-2+2/2
(2)
f(x)
= 12x + 10
-
8x_^)!
=
2 + 0
-
-8(-2)x-3
-3
=
2
+
16
x
16
=
2
+
=
f'(x) = 0 とすると
2+
2x
3
16
x'
+ 16
f(x)
の
x
3
x
+ 8
=
0
(x + 2) (x²
2x+4
=0
x=
2
1 P/4
凹凸表
f(x)
-
-
0
2
-3
+
0
+
f(x)
f(-2) = (-2)^2+10(-2)+17+
4
20
+17
-
=
3
変曲 占 P(-2,-3)
P1-2 -3)における
Cの接線lの方程式は
・4
8
- 2
=
(-1)²-18
30より)

ページ30:

9-(-3)=(-2) (x-(-2))
y = (2-(-2)+10-2-| (x+2) - 3
l
:
=
1-4 +10
-
2) (x+2)
3
=
=
=
4(x+2) 3
-
-
4x+8 3
4x+5
=
4x+5
17
(3)
C+ 9
点は
12
₤ #2 9 > 0
(2)
より
019
117
を用いて
+(91)
4x-3+5
=
QE
4 q
d =
lの距離をdとおく
+19)+51
-
2
8+ (-1)²
189 - 19+10% +17 + - ) + 5 1
より
9705
d
=
4 q
-
&
2
| -2° - 69
-
2
16+1
-
√17
q
-)
10q
17
+5
q
2-12
69
12<0
q
117
2
1-8-62-9-12)
√17
2²+69+0+12
爪

ページ31:

d' =
-E
12g+61
=
3
295+
3
+3
q
q
2
2
2
-
-
8
+0)
92
8
=,P
=0とすると
q
+3g
2
-
か
=0
( 9-1 ) ( q² + 4q + 4 ) = 0
19
90より
dの増減表
d
d
q
0
-
2)
11g+2
..
0 +
1=8
q=1のとき最小
T
=
0
1
3 0
I
☑
☑
-4
-
か
0
90+6g+
17
++12
q=1のとき
8
+6.1+
d.
o +12
=
J7
27×/17
27/17
× 17
17
27
7

ページ32:

(5)
8
x+17+ /
f (x) = x² + 10 x + 17 +
x
f(x)
=2x+10
44
接点の
x座標を
t(0)とする
接線の方程式は
y-fit) = f(t) (x-t)
y
=
12t+10- + =) ( x − t) + t +ot +17+
t
原点を通るので
=
0-120+10-21(0-2)+6+19 + n + /=
t + 17
0 =
- 2 t² - 10 t +
8
2
+ t
+ 10 t + 17 +
16
t
3
0 =
0 =
-
-t+
-
17 t
2
+17
t³ + 16 + 17t
-
16
=
0
(t + 1) (t' - t -10)=0
t = -1
またはt-t-16=0
=
t = -1,
t =
-(-1) ± √(-1) ²-4-1-(-16)
toより
t
2.1
1
1+64
2
=
=
1 ± 65
2
1 +165
2
0
-
17-16
-1
16
1 -1
-16