ページ3:

(3) a を実数とする。方程式 23 - (3-2√3)x2 + az + 10√3 = 5 の
3つの複素数解を複素数平面上に表す。 その3点を結ぶ図形が
1辺の長さが4の正三角形となるとき,この3点を虚部の大き
い順に A(21),B(22), C(23) とする。 ただし, 22 の実部は 21 の
実部より小さい。このとき,
21= ケ + コ i,
22 =
+
ス
+ セà,
である。
23= ソ + Zi
線分ABの中点をMとし, C を中心としてAを角 0 だけ回転
した点をDとする。 ただし,0≦0 < とする。
(i) C, D, M が同一直線上にあるとき, D を表す複素数は
チ + ツ + テ
iである。
πT
(ii) ∠MCD= であるとき,Dを表す複素数は
4
う + えぇである。
う
え の選択肢:
(a) 1 + V2 + V6
(b)1+√2-√6
(c)1-√2+√6
(d) 1-√2-√6
(e) -1 + V2 + V6
(f) -1 + V2 -V6
(g) -1 - √2+ V6
(h) -1 - √2-√6
(i) 2+√2+√6
(j)2+√2-√6
(k) 2-V2 + V6
(l) 2-√2-√6
(m) -2 + V2 + V6 (n) -2+√2-√6 (0) -2-√2+√6
(p)-2-√2-√6
5

ページ4:

3
座標空間内において,
0≦x≦1,0≦y ≦1, x = 0
の表す æy 平面上の領域に、不透明で厚みの無視できる1辺の長さが
1の正方形の板 P が置いてあり、点L(0,0,2) に点光源がある。板 P
を,軸を回転軸として, 座標が正の側に角 0 だけ回転させたとき,
zy 平面上で板 P の影になる領域を D とする。ただし,00
とする。
(1) D の形状は お である。
お の選択肢:
(a) 正方形
(b) 正方形でない長方形
(c) 長方形でない平行四辺形 (d) 平行四辺形でない台形
(e) 台形でない四角形
πT
ナ
(2) D に属する点の y 座標の最大値をαとする。 aはsin0 =
=
ヌ
のとき最大となる。 このときa=
であり,
ネ
ハ
原点から最も遠い D 上の点の座標は
である。
-6-

ページ5:

7
フ
(3) Dの面積は sin 0
======
のとき最大となる。
>
ホ
このときDの面積は
ミ である。
マ

ページ6:

ai
anti
= |
=
an+2
am+
(1) [1]n=1 のとき
(n=1,2,3, )
①
a,
a₁
が成り立つ
[2]n
=
たの
とき
ak≧であると仮定する
a
k
+
2
ak+1=
ak+1
I
=
+ +
ak+1
ak≧1より
ak +1 ≧ 2
ak+1
1
... aktr
=
| +
≥ 1 + 0 = 1
akti
ak+1
? |
[1][2] から 数学的帰納法より
すべての自然数nに対し、azlである
(証明終)

ページ7:

(2)
2
An+1
--
2
2
an
=
1
-
An+ 2
An + 1
(an + 2)
(an + 1)
2
2
2
-
-
( an² + 4 an + 4 )
2
2 (an+1)²
(An+1)²
(A4+1)²
2
21 An + 2 an+1)
=
=
an
2
+
4 An+ 4
-
An + 2
(an + 1)
an
-
2
(An+1)²
(An+1)²
(1)より
an ? |
Ant | ≥ 2
(an +1)² 2'
(an+1)² 3 4
2
(an + 1)² > 0.
2>o
2
のとき
An + 2 =
-
2
an
2
-
(an²+1)
2
2
L
2 an
4 an
2
< 0.
2
an²
a₁
2
an'
=
☐
(1)より
2 < 0 のとき
Anti
-
x 1 5 2
2=0のとき
An ≥1
2
= -
an²
-
2
> 0
(a+112
anは有理数
an² = 2
an
=
2
anは無理数
②

ページ8:

矛盾
an
2 = 0.
すべての
自然数nに対し、
am
-
2と
anti-2が異符号である
(証明終)
(3)
2
より
③ より
L
anti
2
(an+1)^ ≧4
(an+1)2
: |ami-2|^|-
=
an
2
-
2
(an+1)2
2
an
2
(an+1)2
|an-2|
| (an+1)² |
(an+1)^
lam
2
-
la-21
21
4
21
|an - 2 | 3 | | | | an - 2 |
(4)
(3)より a²
la
2
"I
(証明終)
-218/4/10-21 stila-21
1025
- 2 1
11101-21
tai

ページ9:

a₁ = 1
より
2
tai
10
-
21
10
=1-2-1
laii
lat-21s1
10
10
9-251-1
- sai
-1 1"
10
2-(2) sai
12-11-12-10
2
2+(2)
1
い
=
=
=
2
-
2
--
2
2-2)
2-20
-20
-20
-20
-
5
10
2
+ 10-6
10
+12.5106
-6
+
-
2-6.5-6
56 + 2)
15625 + 16384)
501
56.759
>o
④より
aに1より
(2)より
2
-
10
>
2-10-6
2-10-6 (2
10
-
(/)sai
2-10-6 caii
2
ai2
a2
2
-
-
-
2 =
2 < 0
2
aii - 2 <o
L
-
2
-
I
a 3 ² - 2 <0,
10
④

ページ10:

〔別解〕
より
aii < 2
⑥
(証明終)
2-10-6 sai≦2
10-21=1lai
-
21
10
2
=
10
2
10
=
10
:
|ai-21
=
=
=
1024
3
10-6
2110-6
10-6 ≤ a
2-10-6
VII
2
2
ai²
-
2
2
)
2
=
10:6
くし
1000
(1003) 2
2+10-6
2
2

ページ11:

2
(1) y = tan x
lim
tan 43.5°
f(x)=tanx
+(a+h)-f(a)
とおく
=
f'(a)
h+o
ん
h = 0
のと き
f(ath)-f(a)=f(a) h
+(a+h)
=
=flar
+
f(a) h
①
=
f(x)
f'(x) =
tanx
cos²x
43.5°= 45°-1.5°
15
1800
2
=
4
兀
1.5
180
元
=
4
120
①
より
tan 43.5°
=
tan ( 1 -
元
7270 ) = 1 177
=
f()
(一)
兀
120
17
=
tan
+
九
+
2 πC
4
πC
120
3.14
120
+
3.14
120
=
3.14
60
-
0.0523
=
0.9477 ≒
0.95
アイ(谷)

ページ12:

a > O
(2)
A
=
B
=
=
{ x | | x | < a }
x | x
{ x |
-
6x-1950 }
a < x < a
}
A
B
x²-6x
-
x²-
6x
-
x²+2(-3)×-
x =
=
=
19≤ 0
19 = 0 とすると
19 0
=
2
-
-(-3)± (-3) 1-(-19)
3 ± 19+19
3±√28
=
3±257
3-217
13+2万
3- 27 x 3 + 27
{x | 3 - 2 √7 ≤ x ≤ 3 + 2 √7}
B =
(i)
A C B
3-217
-
a
A
B
x
a
3+2√7
17
3.
-
2
3+27 ≥ a
-
a
かつ
かつ
a
a ≤ 3 + 27
?
3+
2/7
a
-3+257
3+27
: a5-3+27
to (c)
ウエオ(谷)

ページ13:

(ii) A┐B
-
a 3-217
a < 3
-
a <
27
B
3+2√7
A
x
a
かつ
3 +
3+ 257 かつ
257 > a
3 +27> a
-3+25
3+277
a
a ≥
3 + 2/7
(d)
カキク(谷)

ページ14:

3
(3)
2
(3-23) z² + az + 10/3 = 5
1辺4 の
正三角形
A (Z). B (22),
ImZ1
Re 22
C (23)
Im Z₂ > ImZ3
<Rez
①
の解より
-
(3- 23)2+ azit
10万
Zi
-
-
3 13 23121
2
+
az +
10万
=
=
5
5
3 13 23 22 +
az+10/
=5
☑
(3)
も①
の解
A'(豆)
とおく
Z₁
2 の
とき
2は実数
このとき
ImZ2 > Im Z, > Im 23
または
Im 2 3 > Im Z₁ > Im Zz
と矛盾する
A (Z₁)
2₁ = {₁ の とき
AA」は正三角形の一辺
A
② より
Im Z₁ > Im ži
正三角形の
もう1つの点は
実軸
の
点となり、こと
おく
の
Z₁
毛以外の解は実数
'
虚部
は0
A'
A(21)
Im Zu = 0
4
より
ImZ
> 0 >
Im Zi
2
m
え
☑
> Im
そ
Z₁
B (22)
23
より
ImZ
>I
24 =
より
Re
Zz
のように
なる。
=
Z2
Z3
< Re Z,
→)
Re
2
C(23)

ページ15:

Rez=人とおくと
2₁ =
x+ zi
=
-
23
xi
2√3
zi
① より
3
-
-
13 23)
2
+ az + 10/3
5=0
解と係数の関係より
+ 2 + Z 3 =
2
1x1 +
+zi)
+
(x,
2
3人
2/3) +
-
3-2
(x, zi)
23 = 3 ⋅
32,
=
3
-
2
=
こ
21
=
1+
22
=
( |
-
23
=
zi
2店)+oi
zi
C, D. M が同 直線上に
=
3-213
D
ケ、コ
サーセ(谷)
ンタ
A (21)
あるとき
2
LACM =
2
六
B (Z2)
M
π
=
Re
(24) とおく
D
24
23
=
24
=
NU
3
( cos — 7 + i sin =—=—= 1 (2₁ - 27 )
7)(21-23)
2
+1
( cos I + i sin 1 )
+ i sin 17 ) (2, - 23)
6
= ||- 21 ) + |
+
2
C(23)
1/1){(1+2)-(1-20)}
2
1)4i
=1-2+1+1/2/1-4
= 1-2 + 23 i + 2 it

ページ16:

=
☐
-
-
1 + (
(ii)
LACM =
π
6
+
231
2
-
2+
2)i
2
3
元
6
-
4
=
π =
12
12
12
元
2
3
5
=
八十
A
12
12
12
6
+
4
00より
0 = LA CD
元
24
+
6
兀
4
B(22)
πC
=
D
12
π
チート(谷
A(21)
M
2
RG
C (23)
Re
5
5
=
23+
π + 1 Sin
Cos
-R) (21-23)
12
12
=
11-21)+(
5
5
八十
isin
Cos
12
12
✓x) { (1+2i)-(1-261)
=
5
11-20)+( 八十
005
12
isin
c).4i (5)
12
ここで
Los
5
12
R
=
605
(
π
Cos
6
2
13
2
+
I)
Cos
兀
4
-
fin
元
6
sin
π
4
16-12
2
(3-1)√2
2√2

ページ17:

Sin
5
A
=
sin
12
⑤ より
=
2
+
π
π
=
Lin
Los
+
Los Lim = =
4
2
1 + √
22
12+16
+
2 12
11+√3
2
22 2
24= |- 2 i + 1
=
16-12
+
√2+16
i)
46
4
1-2i+ (16-2); + (√2 + 16)·(-1)
i
= (1- √2- √6) + (-2+16-12 i)
= (1-12-16) +1-212 + √6 i)
....
う (d) え (0) (谷)

ページ18:

3
0 ≤ X
o≦y
z= 0
板
P 1辺」の正方形
L 10,0, 2 )
x軸 回転軸
D : 板Pの影
0 < 0 <
兀
2
0 回転
y
2
A 10. cos 0
fin()
77
B
(
cos O
Pino)
とおく
実数aを用いて
0
OQ=OL+qLA
とする
2 (0A-02)
OQ=OL+q
= OL + q OA & OL
-> x
A(0, coso, sino)
BCI, cos O, SILO)
Sin
=
(1-q) OL +qOA
x
=
2)(0
+
0.2)
210
cos O
sino)
=
& cor 0,
q cino)
10.0. 2-2q)+ ( 0
,
(1
=
10.
q
coro, 2-2q+qsino)
xy平面上の
のとき
点Q
が
いしゃ
Z座標は
0
2
2 q+qsino=0
1-2
+
sino) q
2
Sin O) h
=
= -
2
2
で
0 < Lino </
2
y

ページ19:

0 >
-
sin 0 > -1
2 > 2
Sin
> 1
2- sin 0 ± 0
なので
2
q
2- sino
【
2 cos 0
OQ = 10.
0 )
①
2-5i40
実数を用いて
-
-
OR
= OL
+
r LB
=
OL
+
r (0-0)
=
+
ro B - roz
=
=
(1-r) o L + ro B
OL
(1-r) (0, 0, 2) + r ( 1, cos 0, fin O)
=
0, 2-28)
+ (r.
or cor or sin O)
=
(
点Rが
✓ cos O 2-2 tr sin O)
xy平面上のとき
座標は
0
2 -2r+rfin o
(- 2 + Lin O)
=
- 2
1 2
-
sin O) r
=
2
2
2
-
sin 0 0
なので
r
=
2- sin O
2
2 cos 0
OR
=
0
2- Sino
)
2- sino

ページ20:

( 1 )
5. Q, R 12
② より
いい
xy平面上の
直線y
2 cos 0
=
上の点
2 - sin O
O C // Q R
2
点Rの
x座標は
2-sino
2 > 2- sin 0 > / 5)
2-Sino
2
< 2
2- sino
2
2-
sino
0Q
☆CR
OC // QR, UQ & CR より
D
の形状は
平行四辺形でない
台形
お (d)
(谷)
(2)
① ②より
座標を
2
f(0)
Cos
2- Sino
とおく
f'(0)
=2
(cos 0)' (2-sin 0)
-
coso12.
-
sin O)
fin 012-fino)
= 2.
= 2.
(2-sin 0)²
(2-fin 0)²
cos 0 (- cos 0)
2sino + sino+co520
(2- sin O)
-

ページ21:

2 (
-
12
f'(0) = 0 とすると
2 Fin0 +1)
-
5i4012
21-2sino +1) =0
2sin0 +1 = 0
- 2 sin 0
=
h
[Sin] [0]
=
2
〇△より
2
f(0)の増減表
0
0
f´(1) + 0
f(0)
→
の
=
兀
K6
-
=
の
最大
6
y座標
の最大値が
a
1
a
は
sino
=
Sin
のとき
十二(谷)
6
2
最大
このとき
2
2.
B
cos T
2
a =
2- sin
2
2/3
4
=
部
ヌネノ(各)

ページ22:

原点から最も遠
い
・D の点はR
より
占 R
の
いい
x座標は
2
2-
sino
0
のとき
2-
2
21
sin /
2
4
4
-
2
2
3
0
八ヒ(各)
2 cos 0
2-sino
R
(3)
C
い
①
② より
=
0,0)
2 cos 0
2-sino
0Q
10,
2
OR
=
2-
sino
>
0 )
2 cos 0
2-Lino
0
()
1
C
2
2- Sing
面積をS(0)とする
Dの
5101 =
2
1/(1+
2 cos 0
2-sino
2
)
2
sino
2
-
Ling
+ 2
COT O
2-
Lino
2
Lino
14-
sin 0 )
cos 0
③
(2- sin 0) 2
S'(0) =
(2-fino)4
LOT O⋅ cos 0 + (4- sino) (-sino) || 2-sino)²
( 4 - Fin 0 ) cor O. 2 (2-sino) (-
cos ()
]

ページ23:

(2-Fin01³
15"0
- 4 sind + sin² O) (2- sino)
+ 214 - £in 0 1 cos 0 }
-
2 cos
COT20
-
(2-5in 01³
I find + 2 sin² 0
+ cos² O sind + & sin² O
-
fin 3
0
+ P cos' O
―
2 find cost O
)
=
( 6 sin² 0
+
6 cos20
(2- Fino) ³
cos' sin o - sin³ O
Pain O)
(2 - Sin 01³
0
| 6 1 ≤ in " 0 + cos' 0 )
I in O ( cos² 0 + sin ³ 0 ) - 8 sin 0.
01
}
(2-540)³
6
-
=
9 sino
(2- Sin0)³
5(0)=0
とすると
16.1
-
Sin O
8 find)
6-9 sin 0 = 0
- 9 sino
= -6
Lin O
=
Sin d =
2
3
とおく
9
=
2
3
元
2

ページ24:

S(0)の増減表
5701
510)
|0
+
d
X
α
。
③ より
S(0) は
-
KN
の とき
最大
2
Lino
=
のとき最大
3
510)=
=
14
-
sin 0 ) cos O
12
Sin O)
14 - sin 0) //-
2
2
(2- sin O)²
sin' O
2
Lino
=
のとき
3
Dの面積は
14
-
10
}) | | - (*)²
2
( 2 - —=—=—- ) ²
70
(1)
2
16
9
√5
3
10/5
10
3
16
16
9
55
ホマ
ミ
(谷)