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H.26 1月進研記述高2模試 @自学 2 B 7 3次関数 f(x) = x3 + ax' + 9x +1 があり, f'(2)=-3 を満たしている。また, y=f(x) のグラフをCとし, y軸上に 点P(0, k)をとる。 ただし, kは実数である。 (1) αの値を求めよ。 (2) C上の点(t, f(t)) におけるCの接線が点P を通るとき, kをtを用いて表せ。 (3)点P を通るCの接線が3本あるとき,kのとり得る値の範囲 を求めよ。 また,この3本の接線のうち, 傾きが負であるもの が1本だけあるとき,kのとり得る値の範囲を求めよ。 (配点 40)
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自学 (1) f(x) = x' + ax2 + 9x + 1 を微分すると f'(x) = 3x2 +2ax + 9 f'(2) = -3 より 3.22 +2a.2 +9 = -3 よって a = -6 (2) 接線の方程式を求める。 微分して よって 整理して f(x) = x3-6x2 + 9x + 1 f'(x) = 3x2 +2・(-6)x+9 = 3x2-12x + 9 f'(t) = 3t2-12t + 9 点(t, f(t))における接線の方程式は、定点公式により y-(t3-6t2+9t + 1) = (3t2-12t+9)(x-t) y=(3t2-12t+9)x -2t3 + 6t2 +1 ...... ① ①が点P を通るから、 ①にx = 0, y=kを代入すると k = -2t3 +6t2 +1
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自学 (3) k = -2t3 +6t2 +1. ② 前半:題意を満たすには、点Pが3つある kが3つある ②を満たすが3つある → 直線 y=kと曲線g(x) = 2t3 + 6t2 + 1 の共有点が3つあればよさげ。 y = g(t) = -2t3 + 6t2 +1のグラフをお絵かきする。 g'(t) = -6t2 +12t=-6t(t-2)=0とすると t=0, 2 g (t) の増減表は t 0 2 ... | 。 + 。 + - 0 2 g'(t) - 極小 極大 g(t) 1 9 グラフをお絵かきすると | y=g(t) 曲線と直線の共有点が3個となるのは 1 < k < 9 2 y=k-
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自学 (3) f'(t)=3f2-12t+9 後半:接線の傾きが負になるのはf'(t) < 0 すなわち これを解くと 3t2 -12t+9 < 0 (t-1)(t−3) <0 ..1<t <3 よって、点P を通るCの3本の接線のうち、 傾きが負であるものが1本 だけである条件は 1<k<9かつ1<t < 3を満たし、k = -2t3 + 6t2 +1を満たす t が1個だけ存在する となればよさげ。 さっきのグラフで確認してみると・・ y = g(t) 9 5 ·y = k 1 2 3 t 1 < k≦5
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