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5 関数の最大・最小 関数の極大値や極小値がかならずしも最大値や最小値となるわけ ではない。 極値と、定義域における関数の値との大小を調べる必要がある。 〖期末テストに出る問題①〗 次の関数の最大値と最小値を求めよ。 また、 そのときのxの値を 求めよ。 (1) y=x3+3x2 (2) y = -x3 + x2 +x (-3≦x≦2) (0≦x≦2) ●増減表命
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解 (1) y = x +3x^(-3≦x≦2) y'=3x2+6x=3x(x+2) y'=0とすると x=-2,0 yの増減表は次のようになる。 X -3 y' y 0 + -2 0 ... -2 0 2 + 0 0 4 0 20 で最大値 20 x=-3,0で最小値0 をとる。 よって、この関数は x=2 答
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解 (2) y=-x'+x2 +x (0≦x≦2) y'= -3x2 + 2x +1= -(3x²-2x-1)=-(3x+1)(x-1) 1 y' = 0 とすると x=-- 3 , yの増減表は次のようになる。 1 1 X 0 1 0 ... 3 2 y' y 0 1 -2 よって、この関数は x=1で最大値1 =2で最小値-2 をとる。 [ x =
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〖期末テストに出る問題②】 底面の直径と高さの和が18cm である 円柱の体積をVcmとする。 (1) 底面の半径をxcm とするとき、Vを xの式で表せ。 (2) Vが最大となるのは、円柱の高さが 何cm のときか。 x cm ●長さと容積に関する式をつくり、 定義域に注意して増減表をつくる
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解 (1) 円柱の体積=底面積× 高さ V TT X (18-2x) V=Tx2. ・x2(18-2x) =-2x3+18πx2 (2) 直径 + 高さ=18より 0 < 2x < 18 .. 0 < x < 9 ...... V' = -6 x2 +36πx=-6πx(x-6) V'=0とすると x= = 0, 6 Vの増減表を ※の範囲で書いてみると x ☐ O ※ 0 ... 6 ... 9 V' V 0 極大 - Vはx=6のとき極大となり、 最大となる。 このとき、高さは 18-2×6=6 である。 xcm + 6cm
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