ページ3:

(2) ~つづき~
a< 0 のとき
-2<a +4<4
(2)
©Akaki
(1)
-2 a +4
4
a +4 -2
に場合を分けて考えてみます。
a +4≦-2
(2)
4
ア -2<a+4<4,つまり-6 <a<0のとき,図より a+4<x<4
イ a+4≦-2, つまり a ≦ -6のとき,図より
-2<x<4
イより -6<a<0
のとき a +4 <x< 4
a≦-6
のとき
-2<x<4

ページ4:

【必答問題】
2 2つの不等式
-3<*-1<3
2
(a-2)x≦a2+a-6
がある。 ただし, aは2でない定数とする。
(1) 不等式①を解け。
①
②
(2) 不等式①を満たすすべてのxが不等式②を満たすようなαの値
の範囲を求めよ。
(配点 10)

ページ5:

12
[1] 1次不等式
(1) ①の辺々に2をかけて分母をはらうと -6 <x-1<6
辺々に1をくわえると
-5<x<7
(a-2)x≦(a-2)(a +3) …②
(2)②の右辺を因数分解すると
正の数でわるときと負の数でわるときにわけて考えてみます。
i) a-2>0(a>2･･･ア) のとき
両辺をα-2でわると x ≦ a +3 不等号の向きはそのままだよ
よって, ①を満たすすべての x が②を満たすには
7≦a+3
(2)
となればよいので
4≦a
-5
7
a+3
であり、これは条件を満たす。
ii) a-2<0(a<2･･･) のとき
両辺をα-2でわると x >a+3 不等号の向きが変わるよ
よって, ①を満たすすべての x が②を満たすには
a +3≦-5
となればよいので
a≤-8
a+3
-5
7
であり、これは条件を満たす。
i, i より a≦-8,4≦a

ページ6:

【必答問題】
2
[1] x=
√3+1
1
'
p = x +-+3とする。
2
X
(1)
上の分母を有理化し,簡単にせよ。また,♪ の値を求めよ。
x
(2)qxとするとき,g の値を求めよ。
x
また, p'a-pq3-4p'q-4pg の値を求めよ。
[2]先生と花子さん, 太郎さんの, 不等式についての会話を読んで,下の
(i), (ii)の問いに答えよ。
先生: 次の不等式の 【問題A】について考えてみましょう。
【問題 A】
aは定数とする。 不等式 3 < x < a を満たす整数xが全部で3個
| となるようなaの値の範囲を求めよ。
花子: この不等式を満たす3個の整数xは(ア)ですね。
先生:そうです。
太郎: この不等式を満たす整数x は, a = 6 の場合は全部で
(イ)個あり, a = 7の場合は全部で ( ウ 個
あります。
花子 : では, 求めるαの値の範囲は( エ
になります。
先生:正解です。 では,次の 【問題 B】を考えてみましょう。
【問題 B】
a は定数とする。2つの不等式 3x +4≧7x +6,
5x+2a≧4-x を同時に満たす整数xが全部で2個となるような
aの値の範囲を求めよ。
(i)(ア にあてはまる数をすべて答えよ。また,(イ)~
にあてはまる数または不等式を答えよ。
エ
ただし, 解答欄には答えのみを記入せよ。
(ii) 【問題 B】を解け。
(配点 20 )

ページ7:

[1]
(1)
-
(2)
解答&プチ解説
x
2
=
2(√3-1)
2(√3-1)
=
= √3–1
-
3-1
√3+1 (√√3+1)(√3−1)
1
p=x+-+3=
√√3+12√3-26 3√3+5
+.
X
2
2
-
+ =
2
2
_ 5 −3√3
2
2
9-x-3+1-2(√3-1)||√3+1−4√3+4 H·
5-3√3 = √25-√27 <0£ 1) = (5-3√3 = 3√3-5
より
2
2
p³q − pq³ −4p²q−4pq² = pq(p² -q²)−4pq(p+q)
= pq(p+q)(p−q)-4pq(p+q)
= pq(p+q)(p−q-4)
3√3+53√3-5
x √
2
3√3+5 3√3-5
・+
27-25
1
==
4 2
ここで,
pq=
2
p+q=
=3√3
2
3√3+5 3√3-58
p-q-4=
=1 より
2
2 2
2
p³q-pq²-4p²q-4pq² =±×3√3×1= 3√3
2

ページ8:

[2]
(i) 3 <x<a→この不等式を満たす3個の整数xは
a=6の場合,3<x<6より全部でx=4,5
4,5,6
の2個
a=7の場合, 3<x< 7より全部でx = 4,5,6 の3個
よって, 求めるaの値の範囲は
6<a≦7
(ii) 不等式3x +4≧7x + 6を解くと, -4x≧2よりx≦
...1
不等式 5x +2a ≧4-x を解くと, 6x≧-2a+4よりx≧
-a+2
3
①と②を数直線にお絵かきして確認してみると
-3/
2
0
-a+2-3と-2の間にあればよさげ。
3 あとは=を含むか含まないか。
ここで,(i)と同じように考えてみるよ。
○
-a+2
3
=2のとき,①と②を同時に満たす整数xは
x=-2,-1の2個。 (-2はおk)
-a+2
○
=-3のとき,①と②を同時に満たす整数x は
3
x=-3,-2, -1の3個 (-3はだめ)
よって, 整数xが2個となるには -3<
-a+2
≤-2
3
イコールを
含まない♪
-a+2
この連立不等式を解くと -3<
よりa < 11
3
-a+2
≦-2 より a≧8
3
したがって, 求めるαの値の範囲は8≦a < 11
(2)