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2024年度 10月第2回ベネッセ・駿台記述模試 自学@Akagi X問題 C;y=x^-x-1, X 5 2 つの放物線 C2:y= |- a x + 2 ( αは正の定数) があり, C, の接線のうち傾きが1のものをℓとする。 (1) 接線ℓの方程式を求めよ。 (2)接線lと放物線 C, が接するとき、αの値およびlと C, の接点の座標 を求めよ。 (3)(2)のとき, 放物線 C, の x ≧ 0 の部分と放物線 Cおよび接線lで囲 まれた部分の面積を求めよ。 (配点 40 )
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自学@Akagi ~微分積分(数Ⅱ)~ Ciy=x-x-1/C2:y=1282-2x+2(aは正の定数) (1) C;y=f(x)=x^-x-1とする。 xで微分すると f'(x) =2x-1 傾きが1だから f'(x)=2x-1=1 ∴x=1 接点@ → y = f(1) =12-1-1=-1 よって, 接線ℓは点 (1, -1) を通り傾き1の直線だから, 定点公式 により y-(-1)=1(x-1) ∴y=x-2 答 y=x-2
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(2) 接線l: y=x-2と放物線C2:y: 2 - → y を消去して2次方程式の判別式が 0 1 a -- 2x12x+2=x-2 4 a 2 x+2が接する ∴ x2 - (2a + 4)x + 16 = 0 ・① ①の判別式をDとすると D = (2a +4)2-4×1×16=0 aは正の定数だから 2 ∴. a² + 4a-12 = 0 ∴ (a +6)(a-2)=0 このとき,①の2次方程式を解くと x 2 -(2×2 + 4)x + 16 = 0 ∴. x2 - 8x + 16 = 0 ∴ (x-4)²=0 x=4をy=x-2に代入して a = 2 ∴x= 4 接点のx座標 y=4-2 答 a=2, (4,2) =2 接点のy座標
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(3)(2)のときの二つの放物線をお絵かきしてみると
二つの放物線の交点のx座標を求めると
x2-x-1=-x^ x+2
∴.3x2 =12
.. x = ±2
x≧0の交点のx座標はx=2。
1
2
2
4
2
C2
C₁
放物線と接線lの上下関係に注意して
面積を求めると
12
4
S=f{(x2-x-1)-(x-2)}dx+ ſ' { {x
41
(-x
= f (x²-2x+1)dr+
2 4
2
-
12
-2x+4)dx
1
-x^-x+2)-
)-(x-2)} dx
4
x3-x2+x + x3-x2 +4x
2
-星-4+2)-(2-1+1)+(1-16-16)-(豊-4+8)
3
= 1
答 1
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