グラフを書いて考えてみてください。
この三次関数は三次の係数が正なのでy-x平面でNのような概形を描きますね。
実数解(x軸との交点のx座標)は、yが負から正になるか、正から負になるところの境目にあることは、グラフを書けばわかるかと思います。回答は、ある整数をf(x)に代入したときに、f(x)の符号が変わるような整数を求めているだけです。ここら辺の話は数2の微分の教科書に載っているかと思います。