4 [2021九州大] 内接する球・点と平面の距離・平面の方程式 座標空間内の4点 0 (0,0,0), A(1.0.0) B(0, 1.0) C(0.02) を考える。 (1) 四面体 OABCに内接する球の中心の座標を求めよ. (2) 中心のx座標, y座標, 座標がすべて正の実数であり xy 平面, yz 平面, zx 平面のすべてと接する球を考える. この球が平面 ABC と 交わるとき,その交わりとしてできる円の面積の最大値を求めよ. (1) 四面体 OABCの体積をVとすると 1 1 2. ① 3 2 球の半径を とすると, 中心の座標は (r.rr) (△OAB + △OBC + △OCA + △ABC) AB=(-1,1,0),AC = (-1,02) より AB.AC=1, |AB|2=2, |AC|2=5 から ② より ③ 3 SABC =√√ |AB|| AC|"-(AB-AC)* = √²-S—I = }} AOAB: 2 2 1/11/1/2 △OBC=12･1･2=1,△OCA=1･2･1=1 より これらを③に代入して 1/2=1/3(1/2+1+1+1/2) 1=4r から r=/12 1 ②に代入して,球の中心の座標は (12 (44) (2) 球の半径をR (R>0) とすると, 中心の座標は (RRR) 平面 ABCの方程式は x+y+ x+y+2=1 .. 2x+2y+z=2 ④ ⑤ より 球の中心と平面 ABCの距離は |2R+2R+R-2|_|5R-2| ⑥ √2+22 +12 3 平面 ABCと球が交わる条件は d<R より |5R-2| <R から 5R-21 <9R2 3 16R2-20R+4<0 4R2-5R+1<0 (R-1)(4R-1)<0 から 12 <R<1 ⑦ 円の面積をSとすると (5R-2)² 9 Suck-d)18858-2 16 ---(+) 9 16 (+ π ⑦ より / <R<1から,Sは R= R=2のとき最大値をとる。