発展問題 [知識 物理 橋 23. 平面上の速度の合成」 幅Lの実験用の水槽と,静 水に対して一定の速さVで進む小さな模型の船がある。 図のように、水槽内には壁面に平行に一定の速さの 水流が発生している。 点0から船首を真向かいの壁の 点Pに向けて出発すると,船は壁面に垂直な方向から L 30° v L 30°をなす方向に進み,点Qに達した。(2)~(3)ではVを用いずに答えよ。 (1) 船の速さVを, vを用いて表せ。 (2)出発してから水槽を横切るのに要する時間と,PQ間の距離を求めよ。 水流 (3)次に,真向かいの点Pに到達するため, 上流に船首を向けて点Oから出発した。 船 が水槽を横切るのに要する時間を求めよ。 を求めよ (23. 獨協医科大 改) 2

23. 平面上の速度の合成 解答 (1) (2)時間: 距離: 11/13 (3) √30 √20 地面で静止している人から見ると、静水における船の速度と水 流の速度を合成した速度で、船は水槽内を進む。 船の運動は、水流に 直な方向, 平行な方向のそれぞれに分けて考え、各方向における速度成 分に注目する。 (3)は、合成速度が出発点から真向かいの点Pの向き となるように, 速度ベクトルを作図する。 解説 (1) 静水における船の速度をV, 水流の速度をとすると、地面に対す る船の合成速度は,図1のように表 されるとのなす角度は30°なの で, 1:2:√3 の直角三角形の辺の長さ の比から、水流の速さ”と船の速さVと の関係は, v: V=1:√3 速度の間には、 の関係が V り立つ。 1309 2 P 図 1 したがって, V=3ケラバラ 等速 (2) 壁面に垂直な方向の運動を考えると,船は速さ V (=√√3b) 直線運動をする。 求める時間をちとすると,等速直線運動の公式 「x=ut」に移動距離L, 速き を代入して、 時間の L L=√30×12 =30 また、壁面に平行な方向の運動を考えると, 船は速さで等速直線運 動をする。 PQ間の距離をxとすると, 等速直線運動の公式 「x=ut] L に速さ 時間 を代入して √30 L LO x=vx = 平面、互いに な2つの方向に連携を 分解し、各方向における 直線運動に分けて考える ことができる。 OP=3PQとなるの で, OP =Lから PQ= = 1/35 としてもよい √3 √3v √3 (3) 地面に対する船の合成速度が, 壁面 に対して垂直な方向になればよい。 この ときの船の合成速度を とすると,静 水における船の速度, 水流の速度 を用いて, 2 = '+7 と示され る。すなわち、各速度ベクトルの関係は, 図2のような直角三角形となる。 三平方 の定理を用いて,合成速度の大きさひ を求めると, v₂=√√√2-v²=√√√√3v)² - v² = √2 v 合成 V' V V 図2 TP したがって, 船は真向かいの点に向かって、 速さ2=√2の等速直 線運動をする。 「x=vt」 から, 求める時間をとすると L=√20×12 L t= 2 v 図2のように、 クトルを表す矢印の長さ の比が、 速さの比となる V を合成したもの でありが に対して垂直な向きに るように矢印を描くと 図2のベクトル図が得 れる。 300-1