128 2021年度 数学 lim cm について考える。 8118 |数学| (30分) 数列{cm} (cm は正の実数値をとる) は, 不等式I: cm² - 14cm² + (49- C 0 を満たすものとする。 1 n+3 以下の設問に答えよ。 = 関数f(x) = x3 14x2 + 49x, 関数gn (x)= ただし, は実数, nは自然数とする。 1 n+3 2) 方程式f(x-gn (x)=0は,x=0以外に 異なる2つの実数解をもつことを証明せよ。 - 自治医科大(医) - 2次 1) 関数y=f(x) の第1次導関数をもとめ, 増減表を作成し, グラフの概形をかけ。 x とする。 x=0以外の2つの実数解をan, bn (an > b) とし, a b それぞれをnの式で表記せよ。 3) , b, それぞれを数列{an} および数列{bn} と考えることにする (nは自然数)。 a, b をもとめ, b+1 > b および an > an+1 となることを示せ。 lim cm が収束する場合, その極限値を求めよ。 210 4) a, b, C の大小関係について考察し, lim c が収束するかどうか判定せよ。 7118

自治医2次 (1) x t'o toy lim X-700 f(x)=x²³² -14x²+49x = x (x-7) ² f'(x) = 3x²-28x + 49 = - 00 =(3X-7)(x-7), + 7 fin) = 7 (7-7)² = 7.0³² = 0. 2021 数学 3 f( 7 ) = ( 7 ) ³²-14 · (7) ² +44-7 7-22² +2 7³ -6.7³ +9.75 27 4.7³ 27 1 1392. 27 10:25 ~ 10:55 1 14 _f₁x) = lim x³² (1-17 + 1/ 21 ) = 00 x-200 lim x ²7-0 fix) = lim x³² (1-17 + + 49 ) ルーター内 1372 27 +f 以上より2=f(x)の概形は下 1392 27 2= f(x) or 4x 1 (2) h(x)=-{(x) - g(x)とおくと、 h(x) 200 x ²³-14 x² + (49-73)2² = x { x² - 14 x + ( 49-√73)} ここで、P(x)=x-14x+(49-nifts)とおく. = (x - 1)²- ntz hは自然数であるので、プ付く」 70 £1², P (0) = 49 -² 1/²/3 to ky P(x)=0はx=0とは異なる2つの実数解を $12.5 2. h(x) = x-p(x) =0 12. 2つの実数解を持ち。ハ cazzan, by it. p(an) =0, pibu) =0 54 (3) (4) r n13 (x-7) ² J = 9 ± √√√/²² an > by ffor 2²: A₂ = 1+ √nsbn= B) F1. a₁ = 7+ O b₁ =n_ - VIE √√√₁3 = 1 + ½ ( Co N = 0 2 h ここで、y=f(x)とy=g(x)のグラフについて考えると、 y=f(x) bn ≤ n ≤ an nantとすると = bn botl 外に異なる n- £13 7 0 (3)の国 bn ≤ x ≤ ano 1392 実線の 上図のYg(x)をgn(x)とすると,ght)(x)は上図の 破線となる。(y=g(x)の傾きがhtsだから) 5.2. 159. bnt > bn 2'5'). An >anti = 53. 0 I: Cn³ - 14ch² + (49 - n+3) Cn ≤0 C₁³ - 14ch² + 49 Cn ≤nts Cu f(cn) = g(cn) f(cm)=g(cm)を満たすのは、 より ht - 2 = gn(x) →x and an a, 4 I 2=2₁+1(2) by <buti ≤ Cnti < Anti <an (0)

この操作を繰り返し行うと、 lim n700 lim n-a bn { bm=lim h-700 lim an = 11-700 limen lim n-00 1700 =lim h 700 1372 27 an となる。 はさみうちの原理より」 lim Cuは収束し、その極限値はある n-700 7-√√²₁²₁² = 7 7+扁=7であるので、 別解 上の [解答] の3)の後半と4) では, 1) のグラフとは関係なく 丁寧に計算をして説明したが、 時間がない場合は,1) のグラフを利用す る次のような解法もある。 y=f(x) れた =(n+1) + 3 * ba bats 7/an anti 134 2021年度 数学 <解答> 自治医科大(医) - 2次 an.bn(0<bn<an)はy=f(x)とy=3xのグラフの交点のx座標 であるから, 上図のようになる。 よって bn<bn+1 <7<anti <an 次に,cm(cm> 0) はf(cm) 13cmを満たすから、グラフより一 bnen Man ....・・① = 7+3x+y=0 (x) は が成り立つ。 グラフにおいて, n→∞ のときy=- に近づくから lima=7,limb=7 ......② である。 よって, ① ② より limcm は収束し limc=7 ただし, この解答では説明が雑になり. 少し減点をされるかもしれないが, 時間がない場合は有効である。 <解説> <3次関数のグラフ, 数列, 不等式の証明, 極限> 1)2),3) は基本的な計算問題である。ところが, 4) では, 数列 {C}の一般項 cm をnの式で表すことができないのに, limcm についての 考察を要求される。 1),2),3)の誘導に従って, a, bn を利用して はさみうちの原理を用いるという発想が必要である。 「減点されるかもしれない」とあるが、 この解答の書き方のどの点に減点されるポイントがある のか知りたい。