【高2数B】③ 確率変数の和と積

確率分布正規分布統計的な推測

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赤城 (◕ᴗ◕🎀)

2026.02.10 公開

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ノートテキスト

ページ1:

□ 確率変数の和と積の期待値と分散
確率変数 X, Yについてはつねに次のことが成り立つ。
〇 期待値
E(X + Y) = E(X)+E(Y)
E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)
確率変数 X,Yが独立のとき、 次のことが成り立つ。
○期待値
○分散
E(XY) = E(X)× E(Y)
V(X+Y)=V(X)+V(Y)
V(aX +bY) = a²V(X)+b²V(Y)

ページ2:

完全に忘れてるので基礎のおさらい
学年末考査過去問抜粋
©Akagi
18 箱の中に 10 枚のカードが入っていて、そのうち2枚には数字3 8 枚には
数字4が書いてある。これらのカードをもとに戻さないで1枚ずつ2回取り
出すとき、 1回目のカードの数字をX 2回目のカードの数字をYとする。
このとき、XとYの同時分布を求めよ。
9 1,2,3の数を書いたカードが1枚ずつある。この中から1枚を取り出し、
数を調べてからもとに戻す。 この試行を3回くり返すとき、 次の(1),(2)を求
めよ。
(1) 取り出したカードの数の積の期待値
(2) 取り出したカードの数の和の分散

ページ3:

18 箱の中に 10 枚のカードが入っていて、そのうち2枚には数字 3 8 枚には
数字4が書いてある。これらのカードをもとに戻さないで1枚ずつ2回取り
出すとき、1回目のカードの数字をX 2回目のカードの数字をYとする。
このとき、XとYの同時分布を求めよ。
2
1
OP(X = 3, Y=3)=-x
-
=
自学 © Akagi
3344444444
2
OP(X = 3,
Y = 4)
=
10
9
90
8
2
16
OP(X = 4, Y=3)=
× -=
OP(X = 4, Y=4):
10
9
90
Y
3
4
計
X
3
90
4
90
18
計
90
2|91|91|9
16
72
90
126222
18
90
90
56
72
90
90
1
2 8 16
10
8
×
|
8-97-9
90
56
|=
× -=
10
90

ページ4:

19
1, 2, 3 の数を書いたカードが1枚ずつある。この中から1枚を取り出し、
数を調べてからもとに戻す。 この試行を3回くり返すとき、次の(1),(2)を求
めよ。
(1) 取り出したカードの数の積の期待値
(2) 取り出したカードの数の和の分散
自学 © Akagi
取り出したカードの数をそれぞれ X, Y, Z とする。
1
1
1
(1)
3
E(X)=1x-+ 2 ×
E(Y)=1x=+2×1+3×==2
+3x
=-
2
3
3
1
3
3
3
E(Z) =1x-+2×
1x/+2x1
1
1
3
3
+3x-= 2
3
(2) E(X²) = E(Y²) = E(Z²) = 1² ×·
X, Y, Zは互いに独立だから、
E(XYZ)=E(X)xE(Y)×E(Z) = 2×2×2 = 8
3
1
3
=
14
3
1
1
+22x +32×
3
よって
V(X)=V(Y)=V(Z)=E(X2)-{E(X)}
=
14
22
3
2-3
|=
X, Y, Zは互いに独立だから、
2
V(X+Y+Z)=V(X)+V(Y) + V(Z)
2 2
+ +
3
3 3
=
2